Espaces Probabilisés > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un [espace probabilisé](def:espace probabilise) est un triplet [formule] où : > * Univers [formule] : Ensemble de tous les résultats possibles. > * Tribu [formule] : Famille de parties de [formule] stable par complémentaire et union dénombrable. > * Probabilité [formule] : Mesure sur [formule] avec [formule]. > * Axiomes de Kolmogorov : > - [formule] pour tout [formule]. > - [formule]. > - [formule]-additivité : [formule] si [formule] disjoints. > * Tribu borélienne : [formule] est la plus petite tribu contenant les ouverts. > * Événement négligeable : [formule] tel que [formule]. > * Presque sûrement (p.s.) : Propriété vraie sauf sur un ensemble négligeable. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Tribu [formule] ensemble des parties : [formule] en général (pour [formule] non dénombrable). > * Tribu : Doit être stable par unions dénombrables, pas quelconques. > * Continuité : [formule] si [formule] (croissante). > * Événements indépendants : [formule], pas seulement pour deux ! > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Probabilité d'une union > Énoncé : Montrer [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Partition : [formule]. > 2. Additivité : [formule]. > 3. Réécriture : [formule], donc [formule]. > 4. Idem pour B : [formule]. > 5. Conclusion : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Pourquoi a-t-on besoin d'une tribu ? > * Rép : Pour garantir que les événements usuels (complémentaires, unions) sont mesurables. > * Q2 : Qu'est-ce que la tribu engendrée par [formule] ? > * Rép : [formule], la plus petite tribu rendant [formule] mesurable. > * Q3 : Énoncer le lemme de Borel-Cantelli. > * Rép : Si [formule], alors [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Fondements rigoureux de la théorie des probabilités. * J.-Y. Ouvrard, Probabilités 1 — Introduction accessible aux espaces probabilisés.