Espaces Euclidiens > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un [espace euclidien](def:espace euclidien) est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un [produit scalaire](def:produit scalaire). > * Produit scalaire : Forme bilinéaire symétrique définie positive : [formule]. > * Norme : [formule]. Vérifie Cauchy-Schwarz : [formule]. > * Orthogonalité : [formule] si [formule]. Base orthonormée (BON) : [formule]. > * Procédé de Gram-Schmidt : Orthonormalisation d'une famille libre. > * Supplémentaire orthogonal : [formule] pour tout sous-espace [formule]. > * Projection orthogonale : [formule] est l'unique point de [formule] minimisant [formule]. > * Matrice orthogonale : [formule] ssi [formule] ssi les colonnes forment une BON. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Définie positive : [formule] avec égalité ssi [formule]. Essentiel pour avoir une norme. > * Cauchy-Schwarz : L'égalité a lieu ssi [formule] et [formule] sont colinéaires. > * Gram-Schmidt : Ne pas oublier de normaliser après orthogonalisation ! > * [formule] : En dimension finie, [formule]. En dimension infinie, ce n'est pas toujours vrai. > * Matrice de Gram : [formule]. Elle est définie positive ssi la famille est libre. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Projection orthogonale > Énoncé : Dans [formule] euclidien canonique, projeter [formule] sur le plan [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Normale au plan : [formule]. > 2. Projection sur [formule] : [formule]. > 3. Projection sur [formule] : [formule]. > 4. Vérification : [formule] ✓ > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème spectral pour les matrices symétriques réelles. > * Rép : Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée. Ses valeurs propres sont réelles. > * Q2 : Qu'est-ce qu'une isométrie vectorielle ? > * Rép : Application linéaire conservant le produit scalaire : [formule]. Équivalent à [formule]. > * Q3 : Quel est le lien entre [formule] et [formule] ? > * Rép : [formule] (rotations). [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur les espaces euclidiens. * J. Grifone, Algèbre linéaire — Clair sur l'aspect géométrique et les projections.