Espaces Affines > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Espace affine. Un ensemble [formule] est un espace affine de direction [formule] (espace vectoriel sur [formule]) si on dispose d'une application [formule], [formule], vérifiant : > * Relation de Chasles : Pour tous [formule], [formule]. > * Action libre et transitive : Pour tout [formule] et tout [formule], il existe un unique [formule] tel que [formule]. On note [formule]. > > La dimension de [formule] est par définition [formule]. > > Sous-espace affine. Un sous-ensemble [formule] est un sous-espace affine s'il s'écrit [formule] où [formule] et [formule] est un sous-espace vectoriel de [formule] (la direction de [formule]). On a [formule]. > * Dimension 0 : point ; dimension 1 : droite affine ; dimension [formule] : hyperplan affine. > * Un hyperplan affine est de la forme [formule] où [formule] est une forme linéaire non nulle. > > Caractérisation par les barycentres. [formule] est un sous-espace affine si et seulement si [formule] est stable par barycentres : pour tous [formule] et [formule], on a [formule]. > > Indépendance affine. Des points [formule] sont affinement indépendants si [formule] est une famille libre de [formule]. > > Repère affine. Un repère affine de [formule] (de dimension [formule]) est la donnée de [formule] points affinement indépendants [formule]. Tout point [formule] s'écrit de manière unique [formule] avec [formule] (coordonnées barycentriques). > [!NOTE] > ### 2. Barycentres et Combinaisons Affines > Barycentre. Soient [formule] des points pondérés avec [formule]. Le barycentre est l'unique point [formule] tel que : > [formule] > soit encore, pour tout point [formule] : > [formule] > > Propriétés fondamentales : > * Indépendance de l'origine : la formule ne dépend pas du choix de [formule] (grâce à [formule]). > * Associativité : on peut calculer un barycentre par regroupements successifs. Par exemple, le barycentre de [formule] est le barycentre de [formule] où [formule] est le barycentre de [formule]. > * Combinaison affine : [formule] avec [formule] (les poids sont normalisés). > > Sous-espace affine engendré. Le sous-espace affine engendré par [formule] est l'ensemble des barycentres de ces points, soit : > [formule] > > Enveloppe convexe. L'enveloppe convexe de [formule] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs : [formule]. > [!NOTE] > ### 3. Parallélisme et Intersection > Parallélisme. Deux sous-espaces affines [formule] et [formule] sont parallèles si [formule] ou [formule]. > * Si [formule] (même direction), alors [formule] ou [formule]. > * Deux droites de [formule] peuvent être non coplanaires (ni sécantes, ni parallèles). > > Intersection. [formule] si et seulement si [formule]. > > Formule de dimension. Si [formule] : > [formule] > > Positions relatives dans [formule]. Deux droites [formule] : > * Sécantes : [formule] (un point), [formule] > * Parallèles distinctes : [formule], [formule] > * Confondues : [formule] > * Non coplanaires : [formule], [formule], [formule] > [!NOTE] > ### 4. Applications Affines > Définition. [formule] est affine si la fonction [formule] définie par [formule] est linéaire. On appelle [formule] la partie linéaire de [formule]. > > Caractérisations équivalentes : > * [formule] conserve les barycentres : [formule] pour [formule]. > * Il existe un point [formule] tel que [formule] est linéaire. > * En coordonnées : [formule] où [formule] est une matrice (partie linéaire) et [formule] un vecteur (translation). > > Propriétés : > * La composée de deux applications affines est affine. Partie linéaire : [formule]. > * [formule] est bijective si et seulement si [formule] est un isomorphisme. > * [formule] est entièrement déterminée par les images d'un repère affine : si [formule] est un repère et on se donne [formule], il existe une unique application affine [formule] telle que [formule]. > > Groupe affine. [formule]. > * Structure : [formule] (produit semi-direct). > * Translations : [formule], partie linéaire [formule]. Les translations forment un sous-groupe distingué isomorphe à [formule]. > * Homothéties : [formule], partie linéaire [formule]. Point fixe [formule] si [formule]. > [!NOTE] > ### 5. Théorèmes Classiques > Théorème de Thalès. Soient [formule] deux droites parallèles, et [formule] deux sécantes les coupant en [formule] et [formule] respectivement. Si [formule], alors : > [formule] > Interprétation affine : Une projection sur une droite parallèlement à une direction conserve les rapports. > > Théorème de Ménélaüs. Soit [formule] un triangle et [formule] des points sur les droites [formule] respectivement. Alors [formule] sont alignés si et seulement si : > [formule] > > Théorème de Céva. Avec les mêmes notations, les droites [formule] sont concourantes si et seulement si : > [formule] > > Application : Les médianes d'un triangle sont concourantes (centre de gravité [formule]). > [!NOTE] > ### 6. Application : Systèmes Linéaires > L'ensemble des solutions d'un système linéaire [formule] est : > * Vide si [formule] (système incompatible). > * Un sous-espace affine [formule] si [formule] est une solution particulière. > > C'est l'interprétation géométrique fondamentale : résoudre [formule] revient à trouver un sous-espace affine de direction [formule]. > > Exemple. Le système [formule] a pour ensemble de solutions la droite affine [formule]. > [!WARNING] > ### 7. Pièges à Éviter > * Espace affine ≠ espace vectoriel : Un espace affine n'a pas d'origine. Un sous-espace affine ne contient pas nécessairement [formule]. Un sous-espace vectoriel EST un sous-espace affine (passant par l'origine), mais la réciproque est fausse. > * Intersection vide : Contrairement aux sous-espaces vectoriels (qui contiennent toujours [formule]), deux sous-espaces affines peuvent avoir une intersection vide (droites parallèles distinctes). > * Combinaison affine ≠ combinaison linéaire : Dans [formule], la contrainte [formule] est essentielle pour que le résultat soit indépendant de l'origine. Sans cette contrainte, l'expression n'a pas de sens dans un espace affine. > * Parallélisme strict : [formule] au sens strict signifie [formule] et [formule]. Attention à la définition "au sens large" ([formule]) qui inclut les sous-espaces inclus. > * Barycentre et somme des poids : Si [formule], le barycentre n'existe pas. On obtient alors un vecteur (pas un point). > * Applications affines et points fixes : Toute application affine n'a pas nécessairement de point fixe (ex : une translation non nulle). Point fixe [formule] est valeur propre de la partie linéaire. > * Repère affine ≠ repère vectoriel : Un repère affine de [formule] a [formule] points (un de plus que la dimension), tandis qu'une base de [formule] a [formule] vecteurs. > [!TIP] > ### 8. Exercice Type : Intersection de Sous-Espaces Affines > Énoncé : Dans [formule], on considère les deux droites : > * [formule] > * [formule] > > Déterminer si [formule] et [formule] sont sécantes, parallèles ou non coplanaires. > > Solution Détaillée : > 1. Directions : [formule] et [formule]. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc [formule] et [formule] ne sont pas parallèles. > 2. Condition d'intersection : On vérifie si [formule] appartient à [formule]. > 3. Test : On cherche [formule] tels que [formule]. > * [formule] > * [formule] > * [formule] > D'où [formule], [formule]. Vérifions : [formule]. > 4. Conclusion : [formule]. Les droites [formule] et [formule] sont non coplanaires (elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles). > [!TIP] > ### 9. Exercice Type : Application Affine > Énoncé : Soit [formule] définie par [formule]. > > a) Montrer que [formule] est affine et déterminer sa partie linéaire. > b) [formule] a-t-elle un point fixe ? > > Solution Détaillée : > a) On écrit [formule] avec [formule] et [formule]. > Comme [formule] est une matrice et [formule] un vecteur, [formule] est bien affine. La partie linéaire est [formule], de matrice [formule]. > > b) Point fixe : [formule] . > [formule], [formule], donc il existe un unique point fixe. > Résolution : [formule] et [formule], d'où [formule]. Le point fixe est [formule]. > [!QUESTION] > ### 10. Questions de Jury > * Q1 : Quelle est la différence fondamentale entre un espace affine et un espace vectoriel ? > * Rép : L'espace vectoriel a un élément neutre ([formule]), l'espace affine n'a pas de point privilégié. On ne peut pas "additionner" deux points d'un espace affine, seulement prendre des barycentres ([formule]). > * Q2 : L'intersection de deux sous-espaces affines est-elle toujours un sous-espace affine ? > * Rép : L'intersection est soit vide, soit un sous-espace affine (de direction [formule]). Ce n'est pas toujours non vide (ex : droites parallèles distinctes). > * Q3 : Comment se traduit le théorème de Thalès en termes d'applications affines ? > * Rép : La projection sur une droite parallèlement à une direction donnée est une application affine. Le théorème de Thalès exprime la conservation des rapports par cette projection. > * Q4 : Le groupe affine est-il commutatif ? > * Rép : Non. Par exemple, la composée d'une translation et d'une rotation dépend de l'ordre. Le groupe affine est un produit semi-direct [formule]. > * Q5 : Donnez un exemple de sous-ensemble de [formule] stable par barycentres de deux points, mais qui n'est pas un sous-espace affine. > * Rép : Ce n'est pas possible : un sous-ensemble non vide stable par barycentres de deux points (i.e. stable par [formule]) EST un sous-espace affine. C'est la caractérisation. > * Q6 : Comment déterminer si une application [formule] est affine ? > * Rép : Vérifier que [formule] s'écrit [formule] (forme matricielle), ou que [formule] conserve les barycentres, ou que [formule] est linéaire en [formule]. > * Q7 : Qu'est-ce qu'un simplexe ? > * Rép : L'enveloppe convexe de [formule] points affinement indépendants de [formule]. Ex : segment ([formule]), triangle ([formule]), tétraèdre ([formule]). ### 11. Références Bibliographiques * M. Audin, Géométrie — Excellente approche moderne liant algèbre et géométrie affine. * X. Gourdon, Les Maths en Tête — Algèbre — Chapitre complet sur les espaces affines (pp. 280-310). * P. Caldero, J. Germoni, Histoires hédonistes de groupes et de géométries — Développements de géométrie affine très appréciés du jury. * J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, Géométrie et Cinématique — Traitement classique et rigoureux.