Équations Différentielles Non Linéaires > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une EDO non linéaire [formule] n'a pas de formule générale de résolution. > * Cauchy-Lipschitz : Si [formule] est continue et localement lipschitzienne en [formule], existence et unicité locale. > * Solution maximale : Solution définie sur le plus grand intervalle possible. > * Explosion en temps fini : [formule] avec [formule] : [formule], explose en [formule]. > * Variables séparables : [formule] : [formule]. > * Équation autonome : [formule]. Portrait de phase sur la droite réelle. > * Équation de Bernoulli : [formule]. Changement [formule] ramène à linéaire. > * Équation de Riccati : [formule]. Si on connaît une solution particulière, on peut résoudre. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Unicité : [formule] avec [formule] a plusieurs solutions (pas lipschitzienne en 0). > * Solution maximale : Peut ne pas être définie sur [formule] tout entier. > * Division par zéro : Dans les variables séparables, attention si [formule] (solutions constantes). > * Domaine : La solution reste dans le domaine de définition de [formule]. > * Comportement asymptotique : Même si la solution existe pour tout [formule], peut diverger. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Variables séparables > Énoncé : Résoudre [formule] avec [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Séparation : [formule]. > 2. Décomposition : [formule]. > 3. Intégration : [formule]. > 4. Solution : [formule]. > 5. Condition initiale : [formule]. > 6. Comportement : [formule] quand [formule] (équation logistique). > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Donner un exemple d'équation sans unicité. > * Rép : [formule] avec [formule]. Solutions : [formule] et, pour tout [formule], la fonction nulle sur [formule] et égale à [formule] sur [formule]. > * Q2 : Qu'est-ce qu'un point d'équilibre stable ? > * Rép : Pour [formule], [formule] est équilibre si [formule]. Stable si [formule]. > * Q3 : Comment montrer qu'une solution est globale ? > * Rép : Montrer qu'elle reste bornée sur tout intervalle borné (évite l'explosion). ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * C. Zuily, H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Cours et exercices.