Équations Différentielles Linéaires > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une équation différentielle linéaire d'ordre [formule] est de la forme [formule]. > * Homogène : [formule]. L'ensemble des solutions est un [espace vectoriel](def:espace vectoriel) de dimension [formule]. > * Structure : Solutions de [formule] = solution particulière + solutions de [formule]. > * Wronskien : [formule]. Non nul ssi famille libre de solutions. > * Ordre 1 : [formule]. Solution : [formule] où [formule]. > * Ordre 2 à coefficients constants : [formule]. Équation caractéristique : [formule]. > * Variation de la constante : Méthode pour trouver une solution particulière. > * Cauchy-Lipschitz : Existence et unicité de la solution au problème de Cauchy. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Domaine de définition : Les solutions peuvent exploser en temps fini. > * Coefficients non constants : Pas de méthode générale, sauf cas particuliers (Euler, etc.). > * Second membre : Chercher une solution particulière de même forme que [formule] (si pas résonance). > * Résonance : Si [formule] et [formule] racine de l'équation caractéristique, multiplier par [formule]. > * Wronskien nul : Famille liée de solutions, mais le Wronskien peut être nul à certains points sans lien. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Équation d'ordre 2 > Énoncé : Résoudre [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Équation homogène : [formule] ou [formule]. > Solution générale : [formule]. > 2. Solution particulière : On cherche [formule]. > [formule], [formule]. > [formule]. > 3. Solution générale : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire. > * Rép : Pour [formule] avec [formule] continues, il existe une unique solution maximale pour toute condition initiale, définie sur tout l'intervalle. > * Q2 : Quelle est la dimension de l'espace des solutions d'une EDL d'ordre [formule] ? > * Rép : [formule] (si les coefficients sont continus et [formule] ). > * Q3 : Comment résoudre une équation d'Euler [formule] ? > * Rép : Changement [formule] ou [formule] ramène à coefficients constants. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * C. Zuily, H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Cours et exercices.