Déterminant > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Le déterminant est un outil fondamental en algèbre linéaire qui associe un scalaire à une famille de vecteurs ou à une matrice. > * Définition formelle : C'est l'unique forme [formule] -linéaire alternée sur un espace vectoriel de dimension [formule], prenant la valeur 1 sur une base fixée. > * Volume : Géométriquement, il mesure le volume orienté du parallélépipède engendré par les vecteurs colonnes. > * Caractérisation de l'inversibilité : Une matrice [formule] est inversible si et seulement si [formule]. Cela signifie que ses colonnes forment une [famille libre](def:famille libre). > * Multiplicativité : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Scalaire et Dimension : Attention à la multiplication par un scalaire ! > [formule] > (et non pas [formule] ). C'est une erreur très fréquente. > * Additivité : Le déterminant n'est pas linéaire. En général : > [formule] > * Blocs : Pour une matrice par blocs, [formule] en général. > * Cela n'est vrai que si [formule] (bloc triangulaire) ou si [formule] et [formule] commutent (sous conditions). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Différentielle du Déterminant > Énoncé : Montrer que l'application [formule] est différentiable et calculer sa différentielle en l'identité [formule], puis en toute matrice [formule] inversible. > > Solution Détaillée : > 1. Au voisinage de l'Identité : > Soit [formule] une matrice petite. On utilise la définition du [polynôme caractéristique](def:polynome caracteristique) : > [formule] > L'application [formule] est linéaire continue, c'est donc la différentielle en [formule]. > [formule] > 2. En une matrice [formule] inversible : > On factorise par [formule] : [formule]. > En utilisant le résultat précédent : > [formule] > D'où la formule de Jacobi : > [formule] > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : [formule] est-il dense dans [formule] ? > * Rép : Oui. Pour toute matrice [formule], le polynôme [formule] n'a qu'un nombre fini de racines. On peut donc trouver une suite [formule] qui converge vers [formule] et dont le déterminant est non nul. > * Q2 : Qu'est-ce que le déterminant de Vandermonde ? > * Rép : C'est le déterminant d'une matrice formée par des puissances successives ([formule] ). Il vaut [formule]. Il est non nul ssi les scalaires sont distincts deux à deux. > * Q3 : Le déterminant est-il continu ? > * Rép : Oui, c'est une fonction polynomiale en les coefficients de la matrice. Elle est donc [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur les déterminants. * J. Grifone, Algèbre linéaire — Clair sur l'aspect géométrique du volume.