Dérivabilité > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > La dérivabilité mesure la variation instantanée d'une fonction. > * Dérivée : [formule] si cette limite existe. > * Interprétation : Pente de la tangente au graphe en [formule]. > * Dérivée à droite/gauche : Limites à droite/gauche du taux d'accroissement. > * [formule] : [formule] dérivable avec [formule] continue. > * Théorème de Rolle : [formule] continue sur [formule], dérivable sur [formule], [formule]. > * Accroissements finis : [formule] continue sur [formule], dérivable sur [formule] . > * Sens de variation : [formule] sur [formule] strictement croissante sur [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Dérivable ≠ [formule] : [formule] est dérivable en 0 mais [formule] non continue. > * Dérivée nulle : [formule] n'implique pas extremum (point d'inflexion possible). > * Réciproque Rolle : Faux ! [formule] peut s'annuler sans que [formule] soit constante sur un intervalle. > * [formule] presque partout : Ne suffit pas pour la stricte croissance (fonction de Cantor). > * Composition : [formule] (règle de la chaîne). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Théorème des accroissements finis > Énoncé : Montrer que [formule] pour tous [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Soit [formule]. [formule] est [formule] sur [formule] avec [formule]. > 2. Par le TAF, [formule] entre [formule] et [formule] tel que [formule]. > 3. Donc [formule] car [formule]. > 4. Conclusion : [formule] est 1-lipschitzienne. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer la règle de L'Hôpital. > * Rép : Si [formule] ou [formule] et [formule], alors [formule] (sous conditions). > * Q2 : Une fonction peut-elle être dérivable sans avoir de tangente ? > * Rép : Non, dérivabilité implique existence de la tangente. Mais une courbe peut avoir une tangente verticale (dérivée infinie). > * Q3 : Qu'est-ce que la formule de Taylor-Young ? > * Rép : [formule] si [formule] est [formule] fois dérivable en [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Spécialement conçu pour le concours.