Courbes Planes > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une courbe plane est définie par une équation [formule] ou paramétriquement [formule]. > * Courbe paramétrée : [formule], [formule]. > * Régulière : [formule] pour tout [formule]. > * Tangente : Dirigée par [formule]. > * Courbure : [formule]. > * Rayon de courbure : [formule]. > * Repère de Frenet : [formule] avec [formule] et [formule] normal direct. > * Longueur d'arc : [formule]. > * Abscisse curviligne : Paramétrage par la longueur d'arc, alors [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Point singulier : Si [formule], la tangente peut ne pas être définie ou être verticale. > * Courbure signée : Le signe dépend de l'orientation. [formule] = tourne vers [formule]. > * Changement de paramètre : La courbure est intrinsèque (ne dépend pas du paramétrage). > * Point d'inflexion : Point où [formule] change de signe, i.e. [formule]. > * Branches infinies : Asymptotes à étudier quand [formule] ou vers une singularité. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Courbure du cercle > Énoncé : Calculer la courbure du cercle de rayon [formule] paramétré par [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Dérivées : [formule], [formule]. > 2. Numérateur : [formule]. > 3. Dénominateur : [formule]. > 4. Courbure : [formule]. > 5. Interprétation : Courbure constante, rayon de courbure [formule] (le rayon du cercle). > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Qu'est-ce que le centre de courbure ? > * Rép : Point [formule] où [formule]. Limite des intersections de normales voisines. > * Q2 : Quelle est la courbe de courbure constante non nulle ? > * Rép : Le cercle (en géométrie euclidienne du plan). > * Q3 : Qu'est-ce que l'enveloppe d'une famille de courbes ? > * Rép : Courbe tangente à toutes les courbes de la famille. Ex : la développée est l'enveloppe des normales. ### 5. Références Bibliographiques * M. Berger, Géométrie — Encyclopédique, couvre tous les aspects des courbes planes. * F. Liret, D. Martinais, Géométrie — Niveau classes préparatoires, très clair sur les courbes.