Courbes Paramétrées > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une courbe paramétrée est une application [formule], [formule]. > * Support : L'ensemble [formule], qui est l'image de la courbe. > * Point régulier : Point où [formule]. > * Point singulier (stationnaire) : Point où [formule]. > * Tangente : Au point régulier [formule], la tangente est dirigée par [formule]. > * Courbure : [formule] (en dimension 2/3). > * Rayon de courbure : [formule] quand [formule]. > * Repère de Frenet : [formule] avec [formule], [formule] normal principal, [formule] binormal. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Régularité : Un point stationnaire n'est pas forcément un point de rebroussement ! > * Paramétrage : Deux paramétrisations différentes donnent la même courbe mais des vitesses différentes. > * Tangente en point singulier : Il faut développer à l'ordre supérieur pour trouver la tangente. > * Orientation : Changer [formule] en [formule] inverse l'orientation de la courbe. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Cycloïde > Énoncé : Étudier la courbe [formule] pour [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Dérivée : [formule]. > 2. Points singuliers : [formule] et [formule], soit [formule]. > 3. En [formule] : [formule] et [formule]. > La tangente est verticale (rebroussement de première espèce). > 4. Tableau de variations : Pour [formule], la courbe est régulière. > 5. Courbure : [formule] pour [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Comment trouver la tangente en un point singulier ? > * Rép : On développe [formule] et on prend le premier terme non nul. > * Q2 : Qu'est-ce qu'un point de rebroussement ? > * Rép : Point singulier où la courbe revient sur elle-même (tangente bien définie). > * Q3 : La courbure dépend-elle du paramétrage ? > * Rép : Non, c'est une propriété intrinsèque de la courbe (invariant géométrique). ### 5. Références Bibliographiques * M. Berger, Géométrie — Encyclopédique, couvre tous les aspects des courbes paramétrées. * J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, Géométrie et Cinématique — Classique complet sur les courbes.