Couples de Variables Aléatoires > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un couple [formule] de variables aléatoires est caractérisé par sa loi jointe. > * Loi jointe : [formule] pour [formule]. > * Lois marginales : [formule]. > * Densité jointe : [formule] telle que [formule]. > * Marginales : [formule]. > * Indépendance : [formule], ou [formule]. > * Covariance : [formule]. > * Corrélation : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Marginales ne déterminent pas la jointe : Infinité de lois jointes pour des marginales fixées. > * Non corrélées ≠ indépendantes : [formule] n'implique pas l'indépendance. > * Contre-exemple : [formule], [formule]. [formule] mais pas indépendantes. > * [formule] : [formule]. > * Loi conditionnelle : [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Indépendance et corrélation > Énoncé : Soit [formule] uniformément réparti sur le disque unité. Sont-ils indépendants ? Corrélés ? > > Solution Détaillée : > 1. Densité jointe : [formule] si [formule], 0 sinon. > 2. Indépendance : Les marginales ne sont pas uniformes. [formule]. > [formule] car le support n'est pas un rectangle. > Pas indépendants. > 3. Corrélation : Par symétrie, [formule]. > [formule] (intégrale impaire). > [formule]. Non corrélés. > 4. Conclusion : Non corrélés mais dépendants ! > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Donner un exemple de variables non corrélées mais dépendantes. > * Rép : [formule] uniforme sur [formule], [formule]. [formule] mais [formule] est fonction de [formule]. > * Q2 : Qu'est-ce que la formule de transfert ? > * Rép : [formule]. > * Q3 : Comment calculer la loi de [formule] ? > * Rép : Convolution : [formule] si [formule] indépendantes. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Lois marginales, conditionnelles et indépendance. * C. Deschamps, Probabilités — Exercices sur les couples de variables aléatoires.