Convexité en Analyse > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > La convexité est une propriété géométrique avec de nombreuses applications analytiques. > * Fonction convexe : [formule] pour [formule]. > * Épigraphe : [formule]. [formule] convexe ssi épigraphe convexe. > * Inégalité des pentes : [formule] convexe ssi [formule] croît en [formule] ou [formule]. > * Dérivée : [formule] convexe et dérivable [formule] croissante [formule] (si existe). > * Inégalité de Jensen : [formule] pour [formule] convexe et [formule] variable aléatoire. > * Stricte convexité : Inégalité stricte pour [formule] et [formule]. > * Semi-continuité inférieure : Toute fonction convexe sur un ouvert est continue. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Convexe ≠ [formule] : [formule] est convexe mais pas [formule] en 0. > * Jensen : Attention au sens de l'inégalité pour les fonctions concaves (inverser). > * Minimum : Une fonction convexe atteint son minimum sur un fermé borné convexe (si elle est s.c.i.). > * Point de discontinuité : Une fonction convexe sur un ouvert est automatiquement continue. > * Sous-différentiel : En un point de non-dérivabilité, il existe quand même des "pentes" admissibles. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Inégalité AM-GM via Jensen > Énoncé : Montrer que [formule] pour [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Fonction : [formule] est convexe sur [formule] car [formule]. > 2. Jensen discret : [formule]. > 3. Application : [formule]. > 4. Passage à l'exp : [formule] (en inversant l'inégalité car [formule] décroissante). > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer l'inégalité de Jensen. > * Rép : Si [formule] est convexe et [formule] intégrable, alors [formule]. > * Q2 : Une fonction convexe est-elle toujours dérivable ? > * Rép : Non, mais elle admet des dérivées à gauche et à droite en tout point intérieur. > * Q3 : Donner un exemple de fonction convexe non continue. > * Rép : Impossible sur un ouvert. Mais sur un fermé : [formule] pour [formule], [formule] (pas convexe en fait). Sur un ouvert, convexe [formule] continue. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Spécialement conçu pour le concours.