Convexité > [!NOTE] > ### 1. Définitions Fondamentales > Une partie [formule] d'un [espace affine](def:espace affine) réel [formule] est dite convexe si pour tout couple de points [formule] de [formule], le segment [formule] est tout entier inclus dans [formule]. > * Formellement : [formule]. > * Enveloppe Convexe : [formule] est le plus petit convexe contenant [formule]. C'est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs des points de [formule]. > * Fonction Convexe : [formule] est convexe si son épigraphe est convexe. > [formule] > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Connexité : Tout convexe est connexe (par arcs), mais la réciproque est fausse (ex: un croissant de lune est connexe mais pas convexe). > * Séparation Stricte : Deux convexes fermés disjoints ne sont pas toujours strictement séparables par un hyperplan (il faut que l'un soit compact). > * Dimension Infinie : Dans un Banach quelconque, la projection sur un convexe fermé n'existe pas toujours (il faut être dans un Hilbert ou un espace réflexif strictement convexe). > [!TIP] Exercice Type : Ellipsoïde de John-Loewner > Énoncé : Montrer que pour tout compact [formule] d'intérieur non vide de [formule], il existe un unique ellipsoïde de volume minimal contenant [formule]. > > Solution détaillée : > 1. Modélisation : On considère les ellipsoïdes [formule] avec [formule]. Minimiser le volume revient à maximiser [formule]. > 2. Existence (Compacité) : On considère l'ensemble [formule]. Cet ensemble est convexe, fermé et borné (car [formule] contient une boule [formule], donc les valeurs propres de [formule] sont majorées par [formule] ). C'est donc un compact. > 3. Maximum : La fonction [formule] est continue sur le compact [formule], elle y atteint son maximum en [formule]. Comme [formule] est borné, on ne peut pas "aplatir" l'ellipsoïde à l'infini, donc [formule], ce qui prouve que [formule]. > 4. Unicité : Sur l'ouvert convexe [formule], la fonction [formule] est strictement concave, ce qui garantit l'unicité du point critique. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Quelle est la caractérisation variationnelle de la projection sur un convexe fermé [formule] dans un Hilbert ? > * Rép : [formule]. (L'angle est obtus). > * Q2 : Comment caractériser la convexité d'une fonction [formule] ? > * Rép : Sa Hessienne [formule] doit être une matrice positive en tout point (valeurs propres [formule] ). > * Q3 : Qu'est-ce que le théorème de Carathéodory ? > * Rép : Dans un espace affine de dimension [formule], tout point de l'enveloppe convexe de [formule] est barycentre à coefficients positifs d'au plus [formule] points de [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * M. Berger, Géométrie — Encyclopédique, couvre l'enveloppe convexe et Carathéodory. * D. Music, Algèbre et Géométrie — Bonne synthèse algèbre-géométrie sur la convexité.