Convergences en Probabilités > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Plusieurs notions de convergence pour les suites de variables aléatoires. > * Presque sûre (p.s.) : [formule]. > * En probabilité : [formule]. > * En loi notée [formule] : [formule] en tout point de continuité de [formule]. > * En moyenne d'ordre [formule] dans [formule] : [formule]. > * Implications : p.s. [formule] proba [formule] loi. [formule] proba. > * Lemme de Slutsky : Si [formule] et [formule] (constante), alors [formule]. > * Théorème de continuité : [formule] ssi [formule] pour tout [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Loi ≠ proba : Convergence en loi n'implique pas convergence en probabilité. > * Proba ≠ p.s. : Convergence en probabilité n'implique pas presque sûre en général. > * Extraction : Convergence en probabilité implique existence d'une sous-suite qui converge p.s. > * [formule] : Nécessite que les [formule] soient dans [formule] (moment d'ordre [formule] fini). > * Fonction continue : Si [formule] et [formule] continue, alors [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Loi faible des grands nombres > Énoncé : Montrer que [formule] si [formule] i.i.d. de moyenne [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Espérance : [formule]. > 2. Variance : [formule] (indépendance). > 3. Chebyshev : [formule]. > 4. Conclusion : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer la loi forte des grands nombres. > * Rép : Si [formule] i.i.d. avec [formule], alors [formule]. > * Q2 : Donner un exemple où [formule] en probabilité mais pas p.s. > * Rép : Machine à écrire : [formule] où [formule]. [formule] en proba mais pas p.s. > * Q3 : Qu'est-ce que la fonction caractéristique ? > * Rép : [formule]. Caractérise la loi de [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Présentation rigoureuse des modes de convergence. * J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2 — Nombreux contre-exemples sur les implications.