Convergences et Intégrales > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Les théorèmes de convergence permettent d'intervertir limite et intégrale. > * Convergence monotone (Beppo Levi) : Si [formule] avec [formule] mesurables, alors [formule]. > * Lemme de Fatou : Pour [formule], on a [formule]. > * Convergence dominée (Lebesgue) : Si [formule] p.p., [formule] intégrable, alors [formule]. > * Fubini : [formule] si [formule]. > * Dérivation sous l'intégrale : [formule] sous conditions. > * Intégrale dépendant d'un paramètre : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Domination : La fonction dominante [formule] doit être indépendante de [formule] et intégrable. > * Fatou : L'inégalité peut être stricte ! [formule] : [formule] mais [formule]. > * Fubini : Nécessite l'intégrabilité de [formule]. Contre-exemple : [formule]. > * Convergence simple ≠ dominée : Il faut une majoration uniforme en [formule]. > * Dérivation : Vérifier que [formule] est dominée par une fonction intégrable. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Convergence dominée > Énoncé : Calculer [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Convergence simple : [formule] quand [formule] car [formule]. > Donc [formule]. > 2. Domination : [formule] car [formule]. > Donc [formule] qui est intégrable sur [formule]. > 3. Convergence dominée : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de convergence dominée. > * Rép : Si [formule] p.p. et [formule] avec [formule] intégrable, alors [formule] et [formule]. > * Q2 : Peut-on appliquer Fubini à [formule] ? > * Rép : Non sans précaution : l'intégrale de [formule] diverge. Les deux intégrales itérées donnent des résultats opposés. > * Q3 : Quelle est l'utilité du lemme de Fatou ? > * Rép : Obtenir une inégalité même sans domination. Utile pour montrer l'intégrabilité de la limite. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * W. Rudin, Analyse réelle et complexe (traduit en français) — Classique rigoureux.