Convergences de Variables Aléatoires > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Soit [formule] une suite de v.a. et [formule] une v.a. > * Convergence presque sûre (p.s.) : [formule]. > * Convergence en probabilité : [formule], [formule]. > * Convergence en moyenne d'ordre [formule] (dans [formule] ) : [formule]. > * Convergence en loi : [formule] aux points de continuité de [formule]. > * Implications : > - p.s. [formule] probabilité [formule] loi > - [formule] probabilité [formule] loi > - p.s. [formule] en général > * Convergence en loi vers constante : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Probabilité [formule] p.s. : La réciproque est fausse ! > * Loi [formule] probabilité : Convergence en loi vers une v.a. non constante ne donne pas convergence en proba. > * [formule] : Pas d'implication entre convergences [formule] de degrés différents. > * Lemme de Fatou : si [formule], [formule] (inégalité !). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Contre-exemple p.s. vs proba > Énoncé : Construire [formule] convergeant en probabilité vers 0 mais pas p.s. > > Solution Détaillée : > 1. Construction : Sur [formule] avec mesure de Lebesgue. > 2. Indicatrices glissantes : [formule] où [formule]. > 3. Convergence en proba : [formule]. > 4. Pas p.s. : Pour tout [formule], [formule] pour une infinité de [formule]. > Donc [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de convergence dominée. > * Rép : Si [formule] p.s. et [formule] avec [formule], alors [formule]. > * Q2 : Quelle implication entre convergences est stricte ? > * Rép : Convergence en proba n'implique pas convergence p.s. (contre-exemple ci-dessus). > * Q3 : Qu'est-ce que le lemme de Slutsky ? > * Rép : Si [formule] et [formule], alors [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Chapitre détaillé sur les modes de convergence. * J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2 — Contre-exemples et implications entre convergences.