Connexité > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > La connexité exprime le fait qu'un espace est "d'un seul tenant". > * Connexe : [formule] ne peut pas s'écrire comme union de deux ouverts non vides disjoints. > * Équivalent : Les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont [formule] et [formule]. > * [Connexe par arcs](def:connexe par arcs) : Deux points quelconques peuvent être reliés par un chemin continu. > * Implication : Connexe par arcs [formule] connexe (réciproque fausse en général). > * Image continue : L'image d'un connexe par une fonction continue est connexe. > * Connexes de [formule] : Les intervalles et uniquement les intervalles. > * Composantes connexes : Classes d'équivalence pour "être reliés par un connexe". > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Connexe ≠ connexe par arcs : Le "peigne" topologique est connexe mais pas connexe par arcs. > * Union de connexes : L'union de deux connexes d'intersection non vide est connexe (condition suffisante, mais non nécessaire). > * Fermé dans un connexe : Un fermé propre non vide d'un connexe n'est pas ouvert. > * Produit : Le produit de connexes est connexe. > * Ouvert de [formule] (pour [formule] ) : Connexe [formule] connexe par arcs. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : [formule] non connexe > Énoncé : Montrer que [formule] n'est pas connexe. > > Solution Détaillée : > 1. Application déterminant : [formule] est continue. > 2. Image : [formule]. > 3. [formule] non connexe : C'est l'union de deux ouverts non vides disjoints. > 4. Si [formule] était connexe, son image par [formule] serait connexe. Contradiction. > 5. Conclusion : [formule] a (au moins) deux composantes connexes : [formule] et [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Montrer que [formule] est connexe pour [formule]. > * Rép : Connexe par arcs : on relie [formule] à [formule] en contournant l'origine si nécessaire. > * Q2 : [formule] est-il connexe dans [formule] ? > * Rép : Non. [formule]. > * Q3 : Qu'est-ce qu'un espace simplement connexe ? > * Rép : Connexe par arcs et tout lacet peut être contracté en un point (pas de "trou"). Ex : [formule] mais pas [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * J. Dixmier, Topologie générale — Référence pour la topologie. * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet.