Complétude > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un espace métrique est complet si toute [suite de Cauchy](def:suite de cauchy) converge. > * Suite de Cauchy : [formule] telle que [formule]. > * Exemples complets : [formule], [formule], espaces de Banach, espaces de Hilbert. > * Contre-exemple : [formule] n'est pas complet — suite de rationnels [formule]. > * Fermé d'un complet : Un fermé d'un espace complet est complet. > * Complétion : Tout espace métrique se plonge densément dans un espace complet unique (à isométrie près). > * Théorème du point fixe de Banach : [formule] contractante ([formule], [formule]) sur un complet [formule] unique point fixe. > * Théorème de Baire : Dans un complet, l'intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Complet ≠ compact : [formule] est complet mais pas compact. > * Cauchy ≠ convergente : Dans un espace non complet, une suite de Cauchy peut ne pas converger. > * Sous-espace : Un sous-espace d'un complet n'est complet que s'il est fermé. > * Dimension infinie : Vérifier la complétude est plus délicat (normes non équivalentes). > * Contraction : Le rapport [formule] doit être strictement inférieur à 1. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Point fixe de Banach > Énoncé : Montrer que [formule] admet un unique point fixe dans [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Point fixe : [formule]. > 2. [formule] : [formule], [formule]. [formule] décroît puis croît, min en [formule]. > 3. Contraction : [formule]. Sur [formule] : [formule]. > Par le TAF : [formule]. > 4. Conclusion : Par Banach, unique point fixe [formule] dans [formule] — complet car fermé de [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de Baire. > * Rép : Dans un espace métrique complet, l'intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. > * Q2 : Application de Baire : [formule] est-il dénombrable ? > * Rép : Non. Si [formule], alors [formule] avec [formule] fermés d'intérieur vide. Contradiction avec Baire. > * Q3 : Qu'est-ce que la complétion de [formule] ? > * Rép : [formule] (pour la distance usuelle). C'est le plus petit complet contenant [formule] densément. ### 5. Références Bibliographiques * J. Dixmier, Topologie générale — Référence pour la topologie. * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet.