Compacité > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > La compacité est une propriété de "finitude topologique" fondamentale en analyse. > * Définition : [formule] est compact si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini. > * En dimension finie : Compact [formule] fermé et borné (Borel-Lebesgue). > * Bolzano-Weierstrass : Compact [formule] toute suite admet une sous-suite convergente dans [formule]. > * Image continue : L'image d'un compact par une fonction continue est compacte. > * Extrema : Fonction continue sur un compact [formule] atteint ses bornes. > * Uniformité : Fonction continue sur un compact [formule] uniformément continue (Heine). > * Intersection décroissante : Intersection de compacts emboîtés non vides = non vide. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Fermé borné en dim infinie : La boule unité fermée de [formule] n'est pas compacte ! > * Ouvert ≠ compact : [formule] n'est pas compact (pas fermé). > * Partie de compact : Une partie d'un compact n'est compacte que si elle est fermée. > * Complet ≠ compact : [formule] est complet mais pas compact. > * Séquentiellement compact : En général, équivalent à compact pour les espaces métriques. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Extrema sur un compact > Énoncé : Soit [formule] continue. Montrer que [formule] atteint son maximum. > > Solution Détaillée : > 1. Image compacte : [formule] est compact dans [formule] (image continue d'un compact). > 2. Compact de [formule] : Donc [formule] est fermé et borné. > 3. Borne sup atteinte : Soit [formule]. Il existe [formule] avec [formule]. > Comme [formule] est fermé, [formule]. > 4. Conclusion : [formule] tel que [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de Borel-Lebesgue. > * Rép : Dans [formule], compact [formule] fermé et borné. > * Q2 : Qu'est-ce qu'un espace localement compact ? > * Rép : Tout point admet un voisinage compact. Ex : [formule], mais pas les espaces de Banach de dimension infinie. > * Q3 : Donner un exemple de partie fermée et bornée non compacte. > * Rép : Dans [formule], la boule unité fermée. La suite [formule] n'a pas de sous-suite convergente pour [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * J. Dixmier, Topologie générale — Référence pour la topologie. * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet.