Calcul Différentiel > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Le calcul différentiel étend la notion de dérivée aux fonctions de plusieurs variables. > * Différentielle : [formule] est différentiable en [formule] si [formule] avec [formule] linéaire. > * Gradient : [formule] pour [formule]. > * Jacobienne : Matrice [formule] pour [formule]. > * Règle de la chaîne : [formule]. > * Théorème d'inversion locale : Si [formule] est inversible, [formule] est un difféomorphisme local près de [formule]. > * Théorème des fonctions implicites : Sous conditions, [formule] définit [formule] comme fonction de [formule]. > * [formule] : Toutes les dérivées partielles jusqu'à l'ordre [formule] existent et sont continues. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Dérivées partielles ≠ différentiable : L'existence des dérivées partielles ne suffit pas pour la différentiabilité. > * Contre-exemple : [formule] (et 0 en 0) a des dérivées partielles en 0 mais n'est pas continue. > * Schwarz : [formule] si [formule] est [formule]. > * Inversion locale : Résultat local, pas global. > * Jacobienne : C'est la matrice de [formule] dans les bases canoniques. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Fonctions implicites > Énoncé : Soit [formule]. Près de [formule], peut-on exprimer [formule] en fonction de [formule] ? > > Solution Détaillée : > 1. Vérification : [formule] ✓ > 2. Dérivée partielle : [formule]. En [formule] : [formule]. > 3. Th. des fonctions implicites : Il existe [formule] définie au voisinage de 0 telle que [formule]. > 4. Explicitement : [formule] près de [formule]. > 5. Dérivée : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème d'inversion locale. > * Rép : Si [formule] est [formule] et [formule] inversible, alors [formule] est un [formule]-difféomorphisme d'un voisinage de [formule] sur un voisinage de [formule]. > * Q2 : Quelle est la différence entre dérivées partielles et différentiabilité ? > * Rép : Les dérivées partielles mesurent la variation dans les directions des axes. La différentiabilité assure une approximation linéaire dans toutes les directions. > * Q3 : Application de l'inversion locale : pourquoi [formule] est-elle surjective près de [formule] ? > * Rép : [formule] est inversible, donc [formule] est un difféo local en 0, son image contient un voisinage de [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel — Très pédagogique sur le calcul différentiel. * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet.