Barycentres > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Le barycentre d'un système de points pondérés [formule] est l'unique point [formule] tel que : > [formule] > * Existence : Le barycentre existe si et seulement si [formule]. > * Formule vectorielle : Pour tout point [formule], [formule]. > * Associativité : On peut regrouper des points : [formule]. > * Centre de gravité : Barycentre à coefficients égaux — tous les [formule]. > * Milieu : Barycentre de deux points avec poids égaux. > * Centre d'inertie : En mécanique, barycentre pondéré par les masses. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Somme nulle : Si [formule], le barycentre n'existe pas (on obtient un vecteur, pas un point). > * Signe des coefficients : Le barycentre n'est pas nécessairement "entre" les points si les poids sont de signes différents. > * Invariance affine : Le barycentre est préservé par les applications affines, mais pas nécessairement par d'autres transformations. > * Coordonnées barycentriques : [formule] sont définies à un facteur près. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Médiane et centroïde > Énoncé : Soit [formule] un triangle. Montrer que les trois médianes sont concourantes et trouver le point de concours. > > Solution Détaillée : > 1. Médiane issue de [formule] : Elle passe par [formule] et [formule]. > 2. Centre de gravité : Le centroïde [formule] est le barycentre [formule]. > 3. Position sur la médiane : [formule] car [formule]. > Donc [formule] : [formule] divise [formule] dans le rapport [formule]. > 4. Conclusion : Par symétrie des rôles, [formule] appartient aux trois médianes. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Qu'est-ce que les coordonnées barycentriques ? > * Rép : Ce sont les coefficients [formule] tels que [formule] avec [formule]. > * Q2 : Le barycentre est-il conservé par une application affine ? > * Rép : Oui, c'est une propriété fondamentale des applications affines. > * Q3 : Que se passe-t-il si la somme des poids est nulle ? > * Rép : On n'obtient pas un point mais un vecteur (bipoint de masse nulle). ### 5. Références Bibliographiques * M. Audin, Géométrie — Excellente approche moderne de la géométrie affine et des barycentres. * J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, Géométrie et Cinématique — Classique complet sur les barycentres.