Arithmétique dans [formule] > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > L'arithmétique étudie les propriétés des entiers, notamment la divisibilité et les nombres premiers. > * Divisibilité : [formule] si [formule]. Relations : réflexive, antisymétrique, transitive. > * PGCD : [formule]. Calculable par Euclide. > * Théorème de Bézout : [formule] pour certains [formule]. > * PPCM : [formule]. > * Nombres premiers : [formule] dont les seuls diviseurs sont [formule] et [formule]. > * Théorème fondamental : Tout [formule] se décompose de façon unique en produit de premiers. > * Congruences : [formule] si [formule]. Relation d'équivalence. > * Indicatrice d'Euler : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Division euclidienne : Le reste est positif : [formule] avec [formule]. > * Bézout et PGCD : [formule] n'implique pas [formule] ! Il faut que [formule] soit le plus petit positif. > * Premiers entre eux : [formule] ne signifie pas que [formule] ou [formule] est premier. > * Valuation p-adique : [formule] mais [formule] avec égalité si [formule]. > * Infinité des premiers : La preuve d'Euclide ne dit pas que [formule] est premier ! > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Algorithme d'Euclide étendu > Énoncé : Calculer [formule] et trouver [formule] tels que [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Euclide : > - [formule] > - [formule] > - [formule] > Donc [formule]. > 2. Remontée : > - [formule] > - [formule] > - [formule] > 3. Conclusion : [formule], [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers. > * Rép : Si [formule] sont tous les premiers, [formule] n'est divisible par aucun [formule]. Contradiction. > * Q2 : Énoncer le théorème chinois. > * Rép : Si [formule], alors [formule]. > * Q3 : Calculer [formule]. > * Rép : [formule]. Les inversibles sont [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur l'arithmétique. * J.-E. Rombaldi, Algèbre — Exercices corrigés pour l'agrégation sur l'arithmétique.