Applications Linéaires > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une [application linéaire](def:application lineaire) [formule] entre deux [espaces vectoriels](def:espace vectoriel) vérifie : [formule]. > * Noyau : [formule]. C'est un sous-espace de [formule]. > * Image : [formule]. C'est un sous-espace de [formule]. > * Rang : [formule]. > * Théorème du rang : [formule]. > * Injectivité : [formule] injective [formule]. > * Surjectivité : [formule] surjective [formule]. > * Isomorphisme : Application linéaire bijective. Si [formule], alors injectif [formule] surjectif [formule] bijectif. > * Endomorphisme : Application linéaire de [formule] dans lui-même. L'ensemble [formule] est un anneau. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Théorème du rang en dim infinie : Ne s'applique qu'en dimension finie ! La dérivation sur [formule] a un noyau de dimension 1 et est surjective. > * Injective + surjective : En dimension infinie, on peut être injectif sans être surjectif — décalage sur [formule]. > * Composition : [formule] et [formule]. Attention au sens des inclusions ! > * Matrice et base : La matrice d'une application linéaire dépend des bases choisies à la source ET au but. > * Rang ligne = rang colonne : Mais les espaces engendrés sont différents ([formule] vs [formule]). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Projecteur > Énoncé : Soit [formule] tel que [formule]. Montrer que [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Somme : Soit [formule]. On écrit [formule]. > - [formule] par définition. > - [formule], donc [formule]. > 2. Directe : Soit [formule]. Alors [formule] pour un certain [formule], et [formule]. > Donc [formule]. > 3. Conclusion : [formule], et [formule] est la projection sur [formule] parallèlement à [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Donner une CNS pour qu'une application linéaire soit un isomorphisme. > * Rép : En dimension finie égale : [formule], ou [formule], ou [formule]. > * Q2 : Que peut-on dire de [formule] ? > * Rép : [formule] (en dim finie). > * Q3 : Comment se transforme la matrice d'une application linéaire par changement de base ? > * Rép : [formule] où [formule] est la matrice de passage à la source et [formule] au but. Pour un endomorphisme : [formule]. > * Q4 : Qu'est-ce que le dual d'un espace vectoriel ? > * Rép : [formule] est l'espace des formes linéaires. En dimension finie, [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * R. Music, Algèbre linéaire — Très bon pour les espaces vectoriels et les applications linéaires. * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet.