Anneaux et Corps > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un anneau [formule] est un ensemble muni de deux lois où [formule] est un groupe abélien et [formule] est associative et distributive. > * Anneau commutatif : [formule] est commutative. Anneau intègre : commutatif et sans diviseur de zéro. > * Corps : Anneau commutatif non nul où tout élément non nul est inversible. > * Idéal : Sous-groupe additif [formule] absorbant : [formule]. > * Idéal premier : [formule] ou [formule]. Alors [formule] est intègre. > * Idéal maximal : [formule] maximal (par inclusion) parmi les idéaux propres. Alors [formule] est un corps. > * Anneau principal : Anneau intègre dont tout idéal est principal (engendré par un élément). > * Anneau euclidien : Anneau intègre muni d'un stathme permettant la division euclidienne. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Intègre ≠ corps : [formule] est intègre mais pas un corps (2 n'est pas inversible). > * Idéal premier vs maximal : Tout idéal maximal est premier, mais pas réciproquement — ex : [formule] dans [formule]. > * Caractéristique : Dans un anneau intègre, la caractéristique est 0 ou un nombre premier. > * [formule] : C'est un corps ssi [formule] est premier. Sinon, il a des diviseurs de zéro. > * Sous-anneau : Doit contenir 1 ! [formule] n'est pas un sous-anneau de [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : [formule] corps > Énoncé : Montrer que [formule] est un corps si et seulement si [formule] est premier. > > Solution Détaillée : > 1. Si [formule] premier : Soit [formule] dans [formule]. > Alors [formule] car [formule]. Par Bézout : [formule], donc [formule]. > Ainsi [formule] est inversible. C'est un corps. > 2. Si [formule] n'est pas premier : [formule] avec [formule]. > Alors [formule] avec [formule]. > Il y a des diviseurs de zéro, donc ce n'est pas un corps (ni même intègre). > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Donner un exemple d'anneau non commutatif. > * Rép : L'anneau des matrices [formule] pour [formule]. > * Q2 : Qu'est-ce que la caractéristique d'un anneau ? > * Rép : Plus petit [formule] tel que [formule], ou 0 si n'existe pas. > * Q3 : [formule] est-il principal ? > * Rép : Oui, c'est même euclidien pour le stathme [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * D. Perrin, Algèbre — Excellent pour les structures (anneaux, idéaux, corps). * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet.