Adjoint et Théorème Spectral > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Dans un [espace euclidien](def:espace euclidien) ou hermitien, l'adjoint [formule] de [formule] est défini par [formule]. > * Existence : En dimension finie, [formule] existe toujours et est unique. > * Matrice : Si [formule] est la matrice de [formule] dans une BON, alors [formule] (transconjuguée). > * Autoadjoint : [formule]. En réel : matrice symétrique. En complexe : matrice hermitienne. > * Normal : [formule]. Inclut les autoadjoints, les unitaires, les antisymétriques. > * Théorème spectral : Tout endomorphisme normal d'un espace hermitien est diagonalisable dans une BON. > * Cas réel : Tout endomorphisme symétrique d'un espace euclidien est diagonalisable dans une BON avec valeurs propres réelles. > * Décomposition polaire : [formule] avec [formule] unitaire et [formule] autoadjoint positif. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * BON obligatoire : L'adjoint dépend du [produit scalaire](def:produit scalaire). La matrice de [formule] n'est [formule] que dans une BON ! > * Normal ≠ diagonalisable sur [formule] : Une rotation non triviale est normale mais pas diagonalisable sur [formule]. > * Autoadjoint ≠ symétrique : "Symétrique" concerne la matrice, "autoadjoint" l'endomorphisme. > * Valeurs propres : Autoadjoint [formule] valeurs propres réelles. Unitaire [formule] valeurs propres de module 1. > * Sous-espaces propres : Pour un endomorphisme normal, les sous-espaces propres sont orthogonaux. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Diagonalisation orthogonale > Énoncé : Diagonaliser [formule] dans une base orthonormée. > > Solution Détaillée : > 1. Valeurs propres : [formule]. > [formule], [formule]. > 2. Vecteurs propres : > - [formule] : [formule]. > - [formule] : [formule]. > 3. Normalisation : [formule], [formule]. > 4. Vérification : [formule] ✓ > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème spectral. > * Rép : Tout endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien est diagonalisable dans une BON, avec valeurs propres réelles. > * Q2 : Qu'est-ce qu'un endomorphisme positif ? > * Rép : Autoadjoint avec toutes ses valeurs propres [formule]. Équivalent à [formule] pour tout [formule]. > * Q3 : Comment montrer qu'une matrice symétrique réelle a des valeurs propres réelles ? > * Rép : Si [formule] avec [formule], alors [formule], donc [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur le théorème spectral. * J. Grifone, Algèbre linéaire — Clair sur l'aspect géométrique des endomorphismes autoadjoints.