Calculer [formule] et [formule].
Découpez [formule] et intégrez par parties : [formule] fera réapparaître [formule].
On ne calcule pas [formule] directement : on cherche une relation de récurrence. L'idée est de découper [formule] et d'intégrer par parties — le terme [formule] fait alors réapparaître [formule] lui-même, ce qui donne une équation en [formule]. Le calcul de la récurrence. Pour [formule], on pose [formule] et [formule], donc [formule]. L'IPP donne [formule]. Le crochet est nul aux deux bornes ([formule] et [formule]). En remplaçant [formule], l'intégrale restante vaut [formule]. D'où [formule], soit [formule] et enfin [formule]. Initialisation. [formule] et [formule]. La récurrence relie les indices de même parité, d'où deux formules closes : [formule] et [formule]. La limite du quotient. Sur [formule] on a [formule], donc [formule] : la suite [formule] est décroissante. En particulier [formule]. Or la récurrence donne [formule]. En divisant l'encadrement par [formule] : [formule]. Les deux bornes tendent vers [formule], donc par encadrement [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Annoncer que le quotient tend vers [formule] « parce que les deux suites sont équivalentes » — c'est précisément ce qu'on veut démontrer. Le seul argument qui vaut est l'encadrement par décroissance, et il exige de faire réapparaître [formule] dans la borne supérieure via la récurrence. 💡 À retenir. Une IPP qui fait réapparaître l'intégrale de départ donne une équation, donc une récurrence : c'est le mécanisme, bien plus que le résultat. Et la relation [formule] (constante, à vérifier par récurrence) mène directement à la formule de Wallis puis à Stirling.