Si u,v commutent et u diagonalisable, montrer que les espaces propres de u sont stables par v.
Soit x vecteur propre de u.
La stabilité demandée se démontre en une ligne. L'intérêt de l'exercice est ce qu'elle permet ensuite : le théorème de codiagonalisation, qui affirme que deux endomorphismes diagonalisables qui commutent le sont dans une même base. On l'établira, en signalant l'hypothèse dont on ne peut pas se passer. La stabilité. Soit [formule], c'est-à-dire [formule]. Alors [formule] la première égalité étant exactement la commutation. Donc [formule] : chaque sous-espace propre de [formule] est stable par [formule]. Noter que la diagonalisabilité n'a pas encore servi, ni pour [formule] ni pour [formule]. Le lemme qu'il faut ajouter, et qui n'est pas évident. Pour aller plus loin il faut savoir que la restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable. La démonstration passe par le polynôme minimal : [formule] annule [formule], donc il annule aussi [formule] pour tout sous-espace stable [formule] ; or [formule] étant diagonalisable, [formule] est scindé à racines simples, et un endomorphisme annulé par un tel polynôme est diagonalisable. C'est ce lemme, et non la stabilité, qui fait tout le travail. La codiagonalisation. Supposons [formule] et [formule] diagonalisables et commutant. Comme [formule] est diagonalisable, [formule]. Chaque [formule] est stable par [formule], donc [formule] est diagonalisable par le lemme : on choisit dans chaque [formule] une base de vecteurs propres de [formule]. La réunion de ces bases est une base de [formule], formée de vecteurs qui sont propres pour [formule] par construction et propres pour [formule] puisqu'ils vivent dans un [formule]. C'est une base propre commune. ⚠️ Les DEUX doivent être diagonalisables — la commutation ne suffit pas. Prenons [formule], qui est diagonalisable et commute avec tout, et [formule], qui ne l'est pas. Ils commutent, l'un est diagonalisable, et pourtant aucune base commune n'existe : il n'existe simplement aucune base de vecteurs propres de [formule]. L'hypothèse manquante n'est donc pas une précaution de rédaction, elle est nécessaire. La réciproque, elle, est immédiate. Si [formule] et [formule] sont diagonalisables dans une même base, leurs matrices y sont diagonales, et deux matrices diagonales commutent. Donc pour deux endomorphismes diagonalisables, codiagonalisables équivaut à commutants — c'est la forme utile de l'énoncé. 💡 À retenir. Ce résultat s'étend sans changement à une famille quelconque, même infinie, d'endomorphismes diagonalisables commutant deux à deux : par récurrence sur la dimension, on raffine à chaque étape la décomposition en sous-espaces propres. C'est le socle de la théorie du spectre simultané — diagonalisation des groupes abéliens d'opérateurs, décomposition en caractères, et en physique quantique la notion d'observables compatibles, qui sont exactement des opérateurs auto-adjoints qui commutent.