Soit [formule]. Calculer [formule].
IPP ou fonction génératrice des moments.
Deux méthodes conduisent au résultat, et elles n'apprennent pas la même chose. L'intégration par parties fournit une récurrence qui donne tous les moments d'un coup ; la fonction génératrice des moments donne [formule] par une lecture de coefficient. Autant faire les deux : elles se contrôlent l'une l'autre. Rappel — moments d'ordre impair. La densité [formule] est paire, donc [formule] est impaire et tous les moments d'ordre impair sont nuls, dès qu'ils convergent — ce qui est le cas, la décroissance gaussienne dominant toute puissance. Première voie — l'intégration par parties, et la récurrence qu'elle donne. Le point clé est que [formule] est une dérivée exacte : [formule]. Avec [formule] et [formule] : [formule] le crochet s'annulant parce que l'exponentielle écrase toute puissance. D'où la récurrence [formule] Application. Partant de [formule] : [formule], ce qui est bien la variance ; puis [formule] La récurrence donne aussi [formule] et [formule] sans un calcul de plus. Seconde voie — la fonction génératrice des moments. Pour [formule], [formule]. En développant l'exponentielle, [formule] Or [formule], donc le coefficient de [formule] vaut [formule]. En identifiant : [formule], soit [formule]. Les deux voies concordent. La formule générale et son contrôle. [formule] Vérification des deux écritures pour [formule] : [formule] et [formule]. Pour [formule] : [formule] et [formule]. Une quadrature numérique donne bien [formule], [formule] et [formule] aux ordres [formule], [formule] et [formule]. ⚠️ Pour [formule], ces formules ne s'appliquent pas telles quelles. Elles valent pour la loi centrée réduite : les moments d'une gaussienne générale se déduisent par [formule], ce qui donne [formule] pour le moment centré, mais [formule] pour le moment brut. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente sur cette famille de calculs. 💡 À retenir. La valeur [formule] est la référence du kurtosis : on définit l'aplatissement d'une loi par [formule], qui vaut [formule] pour toute gaussienne, et l'on parle d'excès de kurtosis pour l'écart à [formule]. Une loi à queues plus lourdes que la gaussienne dépasse [formule] — c'est ainsi qu'on mesure le risque d'événement extrême. Et retenir le mécanisme plutôt que la formule : [formule] est une dérivée exacte, donc toute intégrale gaussienne à poids polynomial se ramène par récurrence à l'ordre [formule] ou [formule].