X suit Exp[formule]. Calculer [formule] pour [formule].
Propriété de perte de mémoire.
Le calcul demandé tient en trois lignes, mais son intérêt est ailleurs : la propriété qu'on va établir caractérise la loi exponentielle parmi les lois à densité. C'est elle qui explique pourquoi cette loi modélise les durées de vie sans usure — désintégration d'un noyau, panne d'un composant électronique — et pourquoi elle est fausse pour une ampoule qui vieillit. Rappel — la fonction de survie. Pour [formule], de densité [formule] sur [formule] : [formule] C'est cette expression, et non la densité, qui rend le calcul immédiat. L'inclusion qui simplifie tout. Comme [formule], l'événement [formule] est inclus dans [formule] : dépasser [formule], c'est en particulier dépasser [formule]. Leur intersection est donc [formule] tout entier, et la définition de la probabilité conditionnelle donne [formule] Le calcul. [formule] Le résultat ne dépend plus de [formule] : le passé est oublié. Sachant qu'un composant a déjà tenu [formule] heures, sa probabilité de tenir [formule] heures de plus est celle d'un composant neuf de tenir [formule] heures. Contrôle numérique. Avec [formule], [formule] et [formule] : [formule], et [formule]. Les deux coïncident. Contre-exemple, pour voir que la propriété n'a rien d'automatique. Prenons [formule] avec [formule] et [formule] : [formule] Comme [formule], l'uniforme vieillit — et d'autant plus vite qu'elle approche de sa borne. La perte de mémoire est une propriété rare, pas une banalité. ⚠️ L'inclusion est ce qui fait marcher la deuxième ligne, et elle repose sur [formule]. Écrire [formule] serait une erreur d'indépendance : les deux événements ne sont pas indépendants du tout, l'un contient l'autre. Les deux raisonnements sont faciles à confondre ici parce qu'ils produisent la même simplification apparente. 💡 À retenir. La perte de mémoire caractérise l'exponentielle : c'est la seule loi à densité qui la vérifie, et son analogue discret est la loi géométrique. La réciproque se démontre par l'équation fonctionnelle [formule] portant sur la fonction de survie, dont les seules solutions mesurables non identiquement nulles sont les exponentielles.