Calculer la transformée de Laplace de [formule] pour [formule].
La dérivation sous l'intégrale marche, mais un simple changement de variable affine ramène tout à [formule].
Deux chemins. Celui de l'indication dérive sous le signe intégral, ce qui demande une justification. Il en existe un plus court, et sans hypothèse à vérifier : un changement de variable affine ramène l'intégrale à la fonction [formule], dont la valeur en un entier est connue. Rappel — Transformée de Laplace et domaine. [formule], définie pour les [formule] qui rendent l'intégrale convergente. Le domaine n'est jamais un détail : c'est lui qui donne un sens à tout ce qui suit. Convergence. [formule] converge si et seulement si [formule], c'est-à-dire [formule] : la croissance polynomiale de [formule] est écrasée par l'exponentielle dès que celle-ci décroît, et l'intégrale diverge grossièrement sinon. Le calcul, par changement de variable. Posons [formule], donc [formule] et [formule] : [formule]. L'intégrale restante est [formule] — la définition même de la fonction [formule] aux entiers, qu'on obtient par [formule] intégrations par parties. D'où [formule] pour [formule]. Contrôles. Pour [formule] on retrouve [formule] ; pour [formule], [formule]. Et la formule de l'indication, [formule], redonne le même résultat en dérivant [formule] fois [formule] — la dérivation sous l'intégrale étant licite car l'intégrande est dominé localement uniformément en [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Omettre le domaine [formule] et manipuler [formule] comme une fonction définie partout. Cette expression a un sens pour [formule], mais elle n'y est pas la transformée de Laplace — l'intégrale y diverge. C'est un cas de prolongement analytique qu'on ne peut pas confondre avec le calcul initial. 💡 À retenir. L'exposant [formule] se retient par homogénéité : [formule] a la dimension de [formule], donc de [formule]. Et cette table est le cœur de la résolution d'équations différentielles linéaires par Laplace — un pôle d'ordre [formule] en [formule] correspond exactement à une racine [formule] de multiplicité [formule] dans l'équation caractéristique.