Calculer [formule].
Deux routes. Celle par complétion du carré demande une déformation de contour ; celle par équation différentielle ne demande que dérivation sous l'intégrale et une IPP.
Deux routes mènent au résultat, et l'une évite entièrement l'analyse complexe. La complétion du carré est plus courte mais réclame une déformation de contour à justifier ; l'équation différentielle ne demande que la dérivation sous l'intégrale et une intégration par parties. Un candidat gagne à connaître la seconde, qui ne suppose rien d'autre que le programme d'analyse réelle. Rappel — Convention et outil de base. [formule]. Le choix de la normalisation [formule] n'est pas anodin : c'est la seule qui rende la gaussienne exactement son propre transformé, sans constante parasite — et elle est de masse [formule], puisque [formule] (conséquence directe de l'intégrale de Gauss). Route 1 — complétion du carré. [formule], puisque [formule]. D'où [formule]. L'intégrale restante vaut [formule], mais cela demande une justification : le changement [formule] n'est pas un changement de variable réel. On l'obtient par le théorème de Cauchy appliqué au rectangle de sommets [formule] et [formule] — l'intégrande est entière, et les deux côtés verticaux tendent vers [formule] quand [formule], car [formule] décroît en [formule]. Il reste [formule]. Route 2 — l'équation différentielle, sans analyse complexe. La domination [formule], intégrable et indépendante de [formule], autorise à dériver sous l'intégrale : [formule]. On reconnaît alors [formule], et une intégration par parties fait tomber le crochet (la gaussienne s'annule à l'infini) : [formule]. Avec [formule], cette équation linéaire d'ordre [formule] s'intègre en [formule] — vérifié numériquement en trois points. ⚠️ L'erreur classique. Traiter [formule] comme un simple changement de variable. Ce n'en est pas un : le chemin d'intégration se déplace dans le plan complexe, et l'égalité repose sur l'holomorphie de l'intégrande plus la décroissance sur les côtés verticaux. C'est exactement ce que le jury demande de justifier — et c'est la raison pour laquelle la route 2 est plus sûre en épreuve. 💡 À retenir. La gaussienne est point fixe de la transformation de Fourier, et c'est ce qui la rend omniprésente : en probabilités (théorème central limite), en traitement du signal (elle minimise le produit des dispersions, donc réalise l'égalité dans l'inégalité de Heisenberg), et dans la résolution de l'équation de la chaleur, dont elle est le noyau. Retenir aussi la règle générale qu'illustre le calcul : plus une fonction est concentrée, plus sa transformée est étalée — dilater [formule] d'un facteur [formule] contracte [formule] du même facteur.