Montrer que tout espace connexe par arcs est connexe.
Transportez la connexité de [formule] par le chemin. Image directe ou image réciproque ?
Toute la démonstration consiste à transporter la connexité de [formule], qu'on sait vraie, vers l'espace [formule]. Le chemin est l'outil de transport, et la continuité en fait un morphisme pour la topologie : elle transforme une partition de [formule] en une partition de [formule], laquelle est impossible. Rappel — Connexité. [formule] est connexe s'il n'admet pas de partition en deux ouverts non vides disjoints. Il est connexe par arcs si deux points quelconques sont joints par un chemin continu. Et l'on admet que [formule] est connexe — c'est le résultat fondateur, conséquence de la propriété de la borne supérieure. Par l'absurde. Supposons [formule] connexe par arcs mais non connexe : il existe alors [formule] ouverts non vides, disjoints, avec [formule]. Choisissons [formule] et [formule] — possible puisqu'ils sont non vides. Par connexité par arcs, il existe [formule] continue avec [formule] et [formule]. Transport. [formule] étant continue, [formule] et [formule] sont des ouverts de [formule]. Ils sont disjoints (car [formule] et [formule] le sont), recouvrent [formule] (car [formule]), et sont non vides : [formule] et [formule]. C'est donc une partition de [formule] en deux ouverts non vides disjoints — ce qui contredit sa connexité. L'hypothèse est absurde : [formule] est connexe. La réciproque est fausse, et le contre-exemple est classique : le graphe du topologiste, réunion du graphe de [formule] sur [formule] et du segment [formule]. Il est connexe — le segment est adhérent au graphe — mais aucun chemin ne relie un point du segment à un point du graphe, les oscillations empêchant toute continuité à l'arrivée en [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Utiliser l'image directe au lieu de l'image réciproque. Une application continue n'envoie pas les ouverts sur des ouverts — [formule] envoie [formule] sur [formule] — c'est la préimage d'un ouvert qui est ouverte, et c'est bien elle qu'on utilise ici. La confusion casse l'argument dès la troisième ligne. 💡 À retenir. La connexité par arcs est plus forte que la connexité, plus facile à vérifier (il suffit d'exhiber des chemins), et les deux coïncident pour un ouvert d'un espace vectoriel normé. C'est pourquoi on peut, sur un ouvert connexe de [formule], relier deux points par une ligne brisée — argument constant en analyse complexe et dans l'étude des équations aux dérivées partielles.