Connexité par arcs implique connexité

Énoncé

Montrer que tout espace connexe par arcs est connexe.

Indication

Par l'absurde, si [formule] ouvert disjoint, considérer un chemin.

Solution

Supposons [formule] connexe par arcs et [formule] avec [formule] ouverts non vides, [formule]. Soient [formule], [formule]. Il existe [formule] continue avec [formule], [formule]. [formule] : partition en ouverts non vides (car [formule], [formule]). Contradiction : [formule] est connexe. Donc [formule] est connexe. [formule] Réciproque fausse : le graphe du topologiste ([formule] complété) est connexe mais pas par arcs.