Soit f : [0,[formule] continue. Montrer que f atteint son maximum.
Le segment est compact — mais dites POURQUOI c'est cela qui décide, en regardant ce qui se passe sur [formule].
Le résultat paraît évident et ne l'est pas : une fonction continue sur un intervalle ouvert n'atteint pas forcément son maximum. Tout repose sur la compacité du segment, et c'est elle qu'il faut faire apparaître. Rappel — Théorème des bornes atteintes. Si [formule] est un compact non vide et [formule] est continue, alors [formule] est bornée et atteint ses bornes : il existe [formule] tels que [formule] et [formule]. [formule] est fermé et borné dans [formule], donc compact par le théorème de Borel-Lebesgue (ou de Heine-Borel). Il est non vide. Le mécanisme, en deux temps. L'image continue d'un compact est un compact : [formule] est donc une partie compacte de [formule], c'est-à-dire fermée et bornée. Étant bornée et non vide, elle admet une borne supérieure [formule] ; étant fermée, elle contient [formule] (qui est adhérent à [formule]). Pourquoi l'image continue d'un compact est compacte, puisque c'est le pas conceptuel de la démonstration. Soit [formule] une suite de [formule] : chaque [formule] s'écrit [formule] avec [formule]. Par compacité de [formule], on extrait [formule] ; par continuité, [formule]. Toute suite de [formule] admet donc une sous-suite convergeant dans [formule] : c'est la définition séquentielle de la compacité. Donc [formule] : il existe [formule] avec [formule]. La fonction atteint bien son maximum. ⚠️ L'erreur classique. Croire que « bornée » suffit. [formule] sur [formule] est continue et bornée, son supremum vaut [formule], et elle ne l'atteint jamais : c'est la fermeture qui manque. Et sur [formule], fermé mais non borné, [formule] ne l'atteint pas davantage. Il faut les deux. Les trois façons d'échouer, et il faut les avoir vues toutes : [formule] sur [formule] (borné, non fermé) a pour supremum [formule], jamais atteint ; [formule] sur [formule] (fermé, non borné) a pour supremum [formule], jamais atteint ; et [formule] sur [formule] (ni l'un ni l'autre) a pour supremum [formule], jamais atteint. Chaque hypothèse est donc indispensable séparément. 💡 À retenir. « Fermé borné [formule] compact » est une propriété de [formule] en dimension finie, pas une définition. En dimension infinie elle tombe : la boule unité fermée d'un espace de Banach n'est compacte que si l'espace est de dimension finie (théorème de Riesz). Devant un « atteint son maximum », chercher toujours le compact.