Théorème de Baire - Application

Énoncé

Montrer que l'ensemble des [formule] dont le développement décimal est ultimement périodique (les rationnels) est maigre.

Indication

Écrire [formule] comme réunion dénombrable de singletons.

Solution

[formule]. Chaque [formule] est fermé d'intérieur vide dans [formule] (aucun intervalle n'est réduit à un point). Donc [formule] est réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide : c'est un ensemble maigre. Par Baire, [formule] n'est pas maigre (compact, donc Baire). Donc [formule] est résiduel (et en particulier non vide, non dénombrable). [formule]