Montrer que l'ensemble des [formule] dont le développement décimal est ultimement périodique (les rationnels) est maigre.
La démonstration tient en trois lignes. La vraie question : « maigre » et « négligeable », est-ce la même chose ?
L'exercice est court, et son intérêt n'est pas la démonstration mais ce qu'elle oppose : « maigre » est une notion topologique de petitesse, « négligeable » une notion de mesure, et les deux ne coïncident pas. [formule] a le bon goût d'être petit dans les deux sens, ce qui masque la différence — il faut donc l'exhiber. Rappel — Vocabulaire de Baire. Une partie est rare (ou nulle part dense) si son adhérence est d'intérieur vide ; maigre si elle est réunion dénombrable de parties rares. Le théorème de Baire affirme qu'un espace métrique complet n'est pas maigre en lui-même — autrement dit, une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide ne peut pas le recouvrir. [formule] est maigre. Il est dénombrable, donc réunion dénombrable de singletons : [formule]. Chaque singleton est fermé, et son intérieur dans [formule] est vide — aucun intervalle non trivial n'est réduit à un point. C'est donc une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide. La conséquence. [formule] est complet (fermé de [formule]), donc non maigre par Baire. Il ne peut donc pas être égal à [formule] : son complémentaire, l'ensemble des irrationnels de [formule], est résiduel — en particulier non vide, et même non dénombrable, car un ensemble dénombrable serait maigre et leur réunion recouvrirait [formule]. ⚠️ Maigre et négligeable sont INDÉPENDANTS, et c'est le vrai enseignement. Un ensemble de Cantor gras est fermé, d'intérieur vide — donc rare, donc maigre — et pourtant de mesure strictement positive, aussi proche de [formule] qu'on veut. Réciproquement, [formule] se partitionne en une partie maigre et une partie négligeable : chacun est « petit » pour l'une des deux notions et « gros » pour l'autre. Aucune des deux n'implique l'autre. ⚠️ L'erreur classique. Conclure de « [formule] est maigre » que « maigre entraîne négligeable », ou traiter les deux mots comme synonymes de « petit ». C'est faux dans les deux sens, et le Cantor gras suffit à le voir. [formule] est un mauvais exemple pour se forger l'intuition, précisément parce qu'il est petit deux fois. 💡 À retenir. Baire sert surtout à démontrer des existences non constructives : il existe des fonctions continues nulle part dérivables (l'ensemble de celles qui sont dérivables en au moins un point est maigre dans [formule]), et [formule] n'est pas dénombrable. Le schéma est toujours « le complémentaire de ce que je cherche est maigre, donc ce que je cherche existe » — sans jamais en exhiber un.