Montrer, par le théorème de Fejér, que les polynômes trigonométriques sont denses dans [formule] — et expliquer pourquoi les sommes de Fourier partielles ne suffiraient pas.
Les sommes partielles peuvent diverger. Que devient la situation si on les MOYENNE ? Regardez le signe du noyau obtenu.
La densité des polynômes trigonométriques se démontre par Stone-Weierstrass — c'est l'objet de l'exercice voisin. On en donne ici la preuve constructive de Fejér, qui est un développement classique d'agrégation : elle exhibe la suite approchante, et elle explique pourquoi les sommes de Fourier ordinaires ne conviennent pas. Le problème que Fejér résout. On aimerait approcher [formule] par ses sommes de Fourier partielles [formule]. Mais il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en un point (du Bois-Reymond, 1873) : [formule] ne converge donc pas uniformément en général. L'idée de Fejér est de moyenner ces sommes, ce qui régularise leur comportement. Rappel — Théorème de Fejér. Pour [formule], les moyennes de Cesàro [formule] convergent uniformément vers [formule] sur [formule]. Or chaque [formule] est un polynôme trigonométrique : la densité en découle immédiatement. Le noyau, et les trois propriétés qui font tout. On montre que [formule] où [formule] est le noyau de Fejér. Il vérifie : (i) [formule] — c'est un carré, et c'est la différence avec le noyau de Dirichlet, qui change de signe ; (ii) [formule] ; (iii) pour tout [formule], [formule] tend uniformément vers [formule] hors de [formule]. Pourquoi ces trois propriétés suffisent. Elles font de [formule] une approximation de l'unité. On écrit [formule] grâce à (ii), puis on coupe l'intégrale en deux : près de [formule], la continuité uniforme de [formule] rend [formule] petit et (i)+(ii) empêchent l'intégrale de gonfler ; loin de [formule], (iii) écrase le noyau tandis que [formule] reste borné. La majoration obtenue ne dépend pas de [formule] : la convergence est uniforme. [formule] étant un polynôme trigonométrique pour chaque [formule], toute [formule] est bien limite uniforme de tels polynômes. ⚠️ L'erreur classique. Croire que la série de Fourier d'une fonction continue converge vers elle. C'est faux, et c'est exactement ce que Fejér contourne. Le noyau de Dirichlet [formule] n'est pas positif et sa norme [formule] — la constante de Lebesgue — croît comme [formule] : c'est cette non-bornitude qui autorise la divergence. Le noyau de Fejér, lui, est positif et de norme [formule] égale à [formule]. 💡 À retenir. « Moyenner pour régulariser » dépasse largement Fourier : c'est la sommation d'Abel, la sommation de Cesàro, et plus généralement l'idée qu'une suite qui ne converge pas peut avoir des moyennes qui convergent. Et le trio positif / de masse [formule] / concentré est la définition même d'une approximation de l'unité — le même argument démontre la densité des fonctions [formule] par convolution avec une gaussienne.