Montrer que l'équation [formule] admet au moins une solution dans [formule].
Ne cherchez pas à résoudre : posez [formule] et regardez les signes de [formule] et [formule].
Une équation qu'on ne sait pas résoudre se traite en la transformant en changement de signe d'une fonction continue : on ne cherche pas la racine, on prouve qu'elle est là. C'est tout l'objet du théorème des valeurs intermédiaires. Rappel — Théorème des valeurs intermédiaires. Si [formule] est continue sur [formule] et si [formule] et [formule] sont de signes contraires, alors il existe [formule] tel que [formule]. Les deux hypothèses comptent : la continuité sur tout le segment, et le changement de signe strict. Posons [formule]. C'est une fonction polynomiale, donc continue sur [formule], en particulier sur [formule] : la première hypothèse est acquise. Aux bornes : [formule] et [formule]. Les deux valeurs sont de signes contraires. Par le TVI, il existe donc [formule] tel que [formule] : l'équation [formule] admet au moins une solution dans [formule]. Localiser la racine, ce que le TVI permet de faire à la main. La démonstration est constructive si on la déroule : en coupant [formule] en deux à chaque étape et en gardant la moitié où [formule] change de signe, on encadre [formule] aussi finement qu'on veut. Quelques valeurs : [formule], [formule], [formule], [formule]. La racine est donc entre [formule] et [formule]. Unicité, que le TVI ne donne pas. [formule], et sur [formule] on a [formule] donc [formule] : [formule] est strictement croissante sur [formule], elle y prend donc chaque valeur au plus une fois. La solution est unique — c'est le nombre plastique [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Conclure « il existe une unique solution » directement par le TVI. Le TVI ne donne que l'existence : sans l'étude du signe de [formule], rien n'interdit trois racines dans [formule]. À l'oral, cette confusion se paie immédiatement. 💡 À retenir. « Montrer qu'une équation admet une solution » se traite toujours dans cet ordre : poser [formule], justifier la continuité, exhiber un changement de signe. Et si l'énoncé demande l'unicité, c'est la stricte monotonie qu'il faut aller chercher, jamais le TVI.