[formule]. Calculer [formule] et [formule].
[formule].
Le réflexe naturel devant [formule] est de chercher d'abord la loi de [formule] : sa fonction de répartition, puis sa densité, puis enfin son espérance. Le théorème de transfert dit précisément que ce détour est inutile — on intègre [formule] contre la densité de [formule], et c'est tout. C'est le résultat qui rend praticable la quasi-totalité des calculs d'espérance. Rappel — théorème de transfert. Si [formule] admet la densité [formule] et si [formule] est mesurable avec [formule], alors [formule] est intégrable et [formule] La loi de [formule] n'apparaît nulle part : on reste du côté de [formule]. Ici [formule], donc [formule] sur [formule] et [formule] ailleurs. Toute espérance se réduit donc à l'intégrale d'un polynôme sur [formule] : [formule] Même mécanique avec [formule] : [formule] puis la formule de Koenig-Huygens donne la Variance : [formule] Contrôle — refaire le détour, pour voir qu'il donne pareil. Posons [formule]. Pour [formule], [formule], donc [formule]. Alors [formule] On retrouve bien [formule], au prix de trois étapes au lieu d'une. C'est exactement ce que le transfert fait gagner. Second contrôle, gratuit. Pour [formule] la variance vaut [formule], ici [formule]. Et l'ordre de grandeur est plausible : l'écart-type [formule] représente environ [formule] de la largeur de l'intervalle, ce qu'on attend d'une masse étalée uniformément. ⚠️ Le piège classique : [formule]. Ici [formule] contre [formule], et l'écart entre les deux est la variance. Les confondre reviendrait à annoncer une variance nulle, donc une variable constante. Plus généralement [formule] dès que [formule] n'est pas affine — l'inégalité de Jensen dit d'ailleurs dans quel sens penche l'écart lorsque [formule] est convexe, et c'est bien le cas ici : [formule]. 💡 À retenir. Le transfert transforme un problème de loi en un problème d'intégrale. C'est lui qui permet de calculer [formule], [formule] ou [formule] sans jamais déterminer la loi de [formule] ni de [formule] — donc lui qui rend praticables les moments, la fonction génératrice des moments et la fonction caractéristique.