Montrer que [formule] définit un polynôme de degré [formule].
Deux questions : pourquoi un tel POLYNÔME existe-t-il, et pourquoi son degré vaut-il [formule] ? La formule de somme des cosinus donne les deux.
L'énoncé demande deux choses distinctes : que [formule] existe — c'est-à-dire qu'un tel polynôme est bien défini — et qu'il soit de degré [formule]. La récurrence trigonométrique donne les deux d'un coup, mais il faut d'abord justifier que la définition a un sens. Rappel — Pourquoi la définition est licite. Quand [formule] parcourt [formule], [formule] parcourt tout [formule]. Poser [formule] définit donc [formule] en tout point de [formule] — encore faut-il que ce soit un polynôme, et que ce polynôme soit unique. L'unicité est acquise : deux polynômes coïncidant sur un ensemble infini sont égaux. Les premiers termes. [formule] donne [formule], et [formule] donne [formule]. La relation clé. La formule de somme des cosinus donne [formule]. En traduisant avec [formule] : [formule] pour tout [formule], donc partout par égalité de polynômes. Récurrence. [formule]. Si [formule] et [formule] sont des polynômes, [formule] en est un : l'existence est établie par récurrence double, initialisée par [formule] et [formule]. Le degré et le coefficient dominant. Si [formule] est de degré [formule] et de coefficient dominant [formule], alors [formule] est de degré [formule] de coefficient [formule], et [formule] de degré [formule] ne peut pas l'annuler. Donc [formule] et [formule]. Avec [formule], on obtient [formule] pour [formule] — vérifié jusqu'à [formule], ainsi que l'identité [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Croire que [formule] n'est défini que sur [formule], parce que [formule] y vit. C'est l'inverse : la relation détermine [formule] sur [formule], mais l'objet obtenu est un polynôme, donc défini sur [formule] et sur [formule]. Hors de [formule] il croît très vite — [formule] pour [formule] — et c'est cette croissance qui fonde ses applications. 💡 À retenir. La propriété qui rend ces polynômes omniprésents : parmi tous les polynômes unitaires de degré [formule], [formule] est celui de plus petite norme uniforme sur [formule], valant [formule]. C'est ce qui fait des points de Tchebychev les meilleurs nœuds d'interpolation (ils évitent le phénomène de Runge), et ce qui fonde l'accélération de convergence des méthodes itératives.