Montrer qu'un groupe d'ordre 56 n'est pas simple.
Compter les 7-Sylow ([formule]) et les 2-Sylow ([formule]).
L'exercice voisin utilise Sylow pour obtenir directement [formule]. Ici le comptage laisse deux possibilités pour chaque premier, et c'est un argument de dénombrement d'éléments qui tranche — la technique la plus utile de tout le chapitre, parce qu'elle s'applique dès que les cas ne se réduisent pas d'eux-mêmes. Le comptage de Sylow. [formule]. Pour [formule] : [formule] et [formule], donc [formule]. Pour [formule] : [formule] et [formule] impair, donc [formule]. Aucun des deux n'est déterminé — il faut un argument supplémentaire. L'argument de dénombrement. Supposons [formule]. Deux [formule]-Sylow distincts [formule] et [formule] ont une intersection qui est un sous-groupe strict de [formule], lequel est d'ordre [formule] premier : par Lagrange, [formule]. Les huit [formule]-Sylow se recouvrent donc uniquement en [formule], et fournissent [formule] Avec l'élément neutre, cela occupe [formule] places, et il ne reste que [formule] éléments d'ordre différent de [formule]. Conclusion. Un [formule]-Sylow a exactement [formule] éléments, et aucun n'est d'ordre [formule] (leurs ordres divisent [formule]). Il est donc entièrement contenu dans les [formule] éléments restants — donc il est égal à cet ensemble, et il n'y en a qu'un : [formule]. Ainsi [formule] et dans les deux cas [formule] possède un sous-groupe de Sylow distingué, non trivial et distinct de [formule] : [formule] n'est pas simple. ⚠️ L'intersection triviale des Sylow n'est PAS automatique — ici elle vient de ce que [formule] est premier, donc qu'un [formule]-Sylow n'a aucun sous-groupe propre non trivial. Pour des Sylow d'ordre [formule] avec [formule], deux Sylow distincts peuvent s'intersecter en un sous-groupe de taille [formule], et le comptage [formule] est alors faux — il surcompte massivement. C'est pourquoi la méthode s'applique si bien au plus grand premier, dont le Sylow est souvent d'ordre premier. Pourquoi ce type de résultat compte. Les groupes simples sont les briques élémentaires : toute suite de composition d'un groupe fini a des quotients simples, uniques à l'ordre près (Jordan-Hölder). Montrer qu'un ordre donné ne peut pas être celui d'un groupe simple, c'est éliminer cet ordre de la classification. Le plus petit ordre d'un groupe simple non abélien est [formule], celui de [formule] — et [formule] fait partie des ordres qu'on élimine exactement par cette méthode. 💡 À retenir. Trois techniques, à essayer dans cet ordre devant « montrer que [formule] n'est pas simple ». D'abord Sylow seul, quand il force [formule]. Ensuite le dénombrement d'éléments, comme ici. Enfin l'action par translation sur les [formule] Sylow, qui fournit un morphisme [formule] : si [formule], son noyau est un sous-groupe distingué non trivial. Cette troisième méthode traite les cas que les deux premières laissent passer.