Dénombrement des sous-groupes de Sylow

Énoncé

Montrer qu'un groupe d'ordre 56 n'est pas simple.

Indication

Compter les 7-Sylow ([formule]) et les 2-Sylow ([formule]).

Solution

[formule]. **7-Sylow** : [formule] et [formule] : [formule]. **2-Sylow** : [formule] et [formule] : [formule]. Si [formule] : [formule] éléments d'ordre 7 (intersections triviales). Il reste [formule] éléments pour le 2-Sylow : un seul 2-Sylow, [formule]. Dans tous les cas, [formule] ou [formule] : un Sylow est distingué, [formule] n'est pas simple. [formule]