Montrer que les polynômes sont denses dans C([0,1]).
Deux routes : vérifier trois propriétés abstraites, ou construire explicitement les polynômes de Bernstein. Faites les deux et comparez ce qu'elles donnent.
Il y a deux démonstrations, et elles ne rendent pas le même service. Stone-Weierstrass vérifie trois propriétés abstraites et conclut sans jamais exhiber un seul polynôme. Bernstein en construit explicitement une suite, et donne en prime une vitesse. Un candidat doit connaître les deux, et savoir dire laquelle il emploie. Rappel — Théorème de Stone-Weierstrass (cas réel). Soit [formule] un espace compact et [formule] une sous-algèbre (stable par somme, produit et multiplication par un scalaire). Si [formule] contient les constantes et sépare les points — pour [formule] il existe [formule] avec [formule] — alors [formule] est dense dans [formule] pour la norme uniforme. Route abstraite : les trois vérifications. Soit [formule] l'ensemble des fonctions polynomiales sur [formule]. C'est une sous-algèbre : la somme et le produit de deux polynômes sont des polynômes. Elle contient les constantes (polynômes de degré [formule]). Et elle sépare les points : pour [formule], le polynôme identité [formule] vérifie [formule] — un seul polynôme suffit à séparer tous les couples, ce qui est confortable mais pas exigé. [formule] étant compact, Stone-Weierstrass s'applique : [formule]. Toute fonction continue sur [formule] est donc limite uniforme de polynômes. Route constructive : les polynômes de Bernstein. Pour [formule], on pose [formule]. On démontre que [formule] uniformément. L'idée probabiliste, qui rend la formule limpide. Les coefficients [formule] sont exactement les probabilités d'une loi binomiale [formule] : [formule] où [formule] compte les succès. Par la loi des grands nombres, [formule] se concentre autour de [formule], donc l'espérance de [formule] tend vers [formule] — et l'uniformité vient de la continuité uniforme de [formule] (théorème de Heine, disponible car [formule] est compact) combinée à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ce que chacune coûte et rapporte. Stone-Weierstrass est plus général (tout compact, toute sous-algèbre séparante) mais non constructif : il ne donne aucun polynôme, aucune vitesse. Bernstein ne vaut que sur [formule] et converge lentement — l'erreur est en [formule] pour une [formule] seulement continue — mais il est explicite et calculable. ⚠️ L'erreur classique. Oublier la compacité de [formule], qui n'est pas une hypothèse technique. Sur [formule] tout entier, les polynômes ne sont pas denses dans l'espace des fonctions continues bornées : un polynôme non constant n'est pas borné, il ne peut donc approcher uniformément [formule], dont la limite en [formule] est [formule]. Second oubli : la séparation des points — sans elle, la sous-algèbre des fonctions paires sur [formule] est fermée et ne contient aucune fonction impaire. 💡 À retenir. La version complexe du théorème exige une hypothèse de plus, la stabilité par conjugaison : sans elle, l'algèbre des polynômes en [formule] (holomorphes) est fermée dans [formule] et n'est pas dense — c'est le théorème de Mergelyan qui gouverne ce cas. Ne jamais appliquer la version réelle à des fonctions à valeurs complexes sans vérifier ce point.