Montrer qu'une matrice [formule] est unitairement diagonalisable si et seulement si [formule] (matrice normale).
([formule]) immédiat. ([formule]) montrer que les espaces propres de [formule] sont stables par [formule].
Le sens direct est un calcul. Le sens réciproque tel qu'écrit établit la stabilité des sous-espaces propres, mais laisse deux trous : pourquoi ces sous-espaces sont orthogonaux, et pourquoi ils engendrent l'espace. On les comble, puis on donne la démonstration par Schur, plus courte et plus robuste. Sens direct. Si [formule] avec [formule] unitaire et [formule] diagonale, alors [formule], et [formule] les matrices diagonales commutant toujours. Toute matrice unitairement diagonalisable est donc normale. Sens réciproque, premier pas — l'identité clé. Supposons [formule]. Alors [formule] est encore normale, et pour tout [formule] Donc [formule] équivaut à [formule] : [formule] et [formule] ont les mêmes vecteurs propres, avec valeurs propres conjuguées. Deuxième pas — l'orthogonalité des sous-espaces propres. Soient [formule] et [formule] avec [formule]. Alors, en utilisant le premier pas, [formule] d'où [formule] et [formule]. C'est ce pas qui manquait, et sans lui la base obtenue ne serait pas orthonormée. Troisième pas — la démonstration courte, par Schur. Toute matrice complexe s'écrit [formule] avec [formule] unitaire et [formule] triangulaire supérieure (décomposition de Schur, obtenue par récurrence sur un vecteur propre puis orthogonalisation). Si [formule] est normale, [formule] l'est aussi. Comparons alors les coefficients [formule] : [formule] L'égalité force [formule] pour tout [formule]. En itérant sur les lignes suivantes, [formule] est diagonale : [formule] est unitairement diagonalisable. Cette voie évite entièrement la question de savoir si les sous-espaces propres engendrent. ⚠️ L'énoncé est spécifiquement COMPLEXE. Sur [formule] il est faux : la rotation [formule] vérifie [formule], elle est donc normale, et pourtant elle n'est diagonalisable dans aucune base réelle — son polynôme caractéristique [formule] n'a pas de racine réelle. La démonstration par Schur montre où la difficulté se loge : la triangularisation exige que [formule] soit scindé, ce que [formule] garantit et [formule] non. Les trois familles remarquables de normales. Les hermitiennes ([formule]), de valeurs propres réelles ; les anti-hermitiennes ([formule]), de valeurs propres imaginaires pures ; les unitaires ([formule]), de valeurs propres de module [formule]. Chacune se caractérise par la position du spectre, et le théorème spectral les traite d'un seul coup — c'est tout l'intérêt de la notion de matrice normale, qui les subsume. 💡 À retenir. « Normale » est exactement la condition qui rend [formule] et [formule] simultanément diagonalisables, ce qui n'est qu'un cas de codiagonalisation d'opérateurs qui commutent. Le théorème s'étend aux opérateurs normaux bornés d'un espace de Hilbert, sous forme de mesure spectrale — c'est le socle de la formulation mathématique de la mécanique quantique.