Soit [formule] un opérateur compact auto-adjoint sur un Hilbert séparable. Montrer que [formule] possède une valeur propre [formule] avec [formule].
Deux hypothèses, deux rôles. Et attention : à quel moment divise-t-on par [formule], et qu'est-ce que cela suppose ?
L'existence d'une valeur propre n'a rien d'automatique en dimension infinie — le shift n'en a aucune. Ce sont deux hypothèses conjointes qui la donnent : l'auto-adjonction, qui fait de [formule] la norme, et la compacité, qui transforme une suite maximisante en suite convergente. Rappel — Deux faits préalables. Pour [formule] auto-adjoint, [formule] — égalité fausse en général sans auto-adjonction, comme le montre une rotation d'angle [formule] du plan, pour laquelle [formule] alors que [formule]. Et [formule] est réel, ce qui donne un sens au signe de [formule]. Le cas trivial, à écarter d'abord. Si [formule] alors [formule], et tout vecteur non nul est vecteur propre pour la valeur propre [formule] : la conclusion vaut. On suppose donc désormais [formule] — hypothèse nécessaire, car on va diviser par [formule]. La suite maximisante. Soit [formule] de norme [formule] avec [formule]. La suite réelle [formule] étant bornée, on peut extraire de sorte qu'elle converge vers un [formule] avec [formule]. L'estimation qui fait tout. [formule], qui tend vers [formule]. Autrement dit [formule] : la suite est « presque propre ». La compacité conclut. [formule] étant bornée et [formule] compact, on extrait [formule]. Comme [formule], on a [formule], donc [formule] — licite car [formule]. En passant à la limite dans [formule] par continuité de [formule] : [formule], soit [formule]. Et [formule] : le vecteur propre est non nul. ⚠️ L'erreur classique. Diviser par [formule] sans avoir écarté le cas [formule] — l'étape « [formule] » n'a alors aucun sens. Second point, plus profond : croire que la compacité seule suffit, ou que l'auto-adjonction seule suffit. Le shift est auto-adjoint ? Non — mais son adjoint étant le décalage inverse, il illustre qu'un opérateur borné sans compacité peut n'avoir aucune valeur propre malgré un spectre plein. 💡 À retenir. Ce résultat est la première brique du théorème spectral : en itérant sur l'orthogonal du vecteur propre trouvé, on construit une base hilbertienne de vecteurs propres, et les valeurs propres tendent vers [formule] — c'est la version en dimension infinie de la diagonalisation des matrices symétriques. C'est lui qui fonde la décomposition en modes propres des opérateurs de Sturm-Liouville, donc la séparation des variables des équations aux dérivées partielles.