Soit [formule] matrice symétrique réelle d'ordre [formule] dont toutes les valeurs propres sont [formule]. Montrer qu'il existe une unique matrice symétrique à valeurs propres [formule] telle que [formule] (la racine carrée de [formule]).
Utiliser la diagonalisation orthogonale.
La construction est immédiate une fois la diagonalisation orthogonale en main. Ce qui donne sa valeur à l'exercice est l'unicité — elle exige un argument non trivial, et c'est elle qui rend la racine carrée utilisable comme un objet bien défini, notamment dans la décomposition polaire. Existence. Par le théorème spectral, [formule] avec [formule] orthogonale et [formule], tous les [formule]. Posons [formule] Alors [formule] est symétrique ([formule]), ses valeurs propres [formule] sont strictement positives, et [formule] Unicité — le raisonnement en trois pas. Soit [formule] symétrique à valeurs propres positives avec [formule]. Premier pas : [formule] commute avec [formule], puisque [formule]. Deuxième pas : [formule] laisse donc stable chaque sous-espace propre [formule] — si [formule], alors [formule]. Troisième pas : sur [formule], la restriction de [formule] est symétrique et vérifie [formule], donc ses valeurs propres y valent [formule] ; la positivité impose [formule], et [formule] étant diagonalisable sur ce sous-espace avec une seule valeur propre, [formule] Comme les [formule] engendrent l'espace, [formule] est entièrement déterminée par [formule]. ⚠️ L'hypothèse de positivité sur [formule] est indispensable, et son oubli fait perdre l'unicité, pas l'existence. Pour [formule], les matrices [formule] sont toutes symétriques de carré [formule] — et il y en a une infinité, toute symétrie orthogonale convenant. Ce n'est pas un cas limite : c'est la situation générique dès qu'une valeur propre est multiple. Une conséquence utile : [formule] est un POLYNÔME en [formule]. Par interpolation de Lagrange, il existe [formule] tel que [formule] pour chaque valeur propre distincte ; alors [formule]. Il en résulte gratuitement que [formule] commute avec tout ce qui commute avec [formule] — propriété qu'on utilise sans arrêt et qui serait pénible à établir directement. Où cette racine sert. C'est exactement elle qui apparaît dans la décomposition polaire [formule], où [formule] : son unicité est ce qui rend la décomposition polaire unique. On la retrouve aussi dans la définition des valeurs singulières, dans le blanchiment statistique [formule] pour normaliser une covariance, et dans la distance de Wasserstein entre gaussiennes. 💡 À retenir. Le mécanisme se généralise à toute fonction continue [formule] sur le spectre : on pose [formule], ce qui définit [formule], [formule] pour [formule] définie positive, ou [formule]. C'est le calcul fonctionnel, et le point à retenir est qu'il ne dépend pas de la diagonalisation choisie — deux diagonalisations donnent le même [formule], exactement pour la raison qui donne l'unicité ci-dessus.