Soit [formule] matrice symétrique réelle d'ordre [formule] avec toutes valeurs propres [formule]. Montrer qu'il existe une unique matrice symétrique [formule] telle que [formule].
Utiliser la diagonalisation orthogonale.
Par le théorème spectral, [formule] où [formule] orthogonale et [formule] avec [formule]. Posons [formule] où [formule]. Alors [formule]. Unicité : si [formule] et [formule] symétriques, elles commutent et ont les mêmes vecteurs propres. Donc [formule].