La réciproque du théorème de Rolle est-elle vraie ? Autrement dit : si [formule], existe-t-il nécessairement [formule] tels que [formule] ?
Cherchez une fonction strictement monotone dont la dérivée s'annule quand même. Et méfiez-vous de [formule].
Réfuter une implication demande un contre-exemple, mais encore faut-il qu'il réfute la bonne chose. Tout l'exercice consiste à énoncer précisément la réciproque avant de la chercher — une réciproque mal écrite se « réfute » par des exemples qui la vérifient. Rappel — Rolle et sa réciproque. Rolle affirme : [formule] continue sur [formule], dérivable sur [formule] et [formule] tel que [formule]. La réciproque serait donc : si [formule], alors il existe [formule] avec [formule]. Le contre-exemple : [formule] sur [formule]. On a [formule], donc [formule] : l'hypothèse de la réciproque est vérifiée en [formule]. Mais [formule] pour tout [formule], donc [formule] est strictement croissante sur [formule], donc injective. Il n'existe aucun couple [formule] avec [formule] — a fortiori aucun qui encadre [formule]. La réciproque de Rolle est donc fausse. Interprétation. [formule] a en [formule] un point d'inflexion à tangente horizontale : la dérivée s'y annule sans changer de signe. C'est exactement ce que Rolle ne peut pas produire — un zéro de [formule] obtenu par Rolle sépare une montée d'une descente, donc [formule] y change de signe. La caractérisation générale, qui dit exactement quand la réciproque échoue. Elle tombe précisément lorsque [formule] s'annule en [formule] sans y changer de signe — c'est-à-dire quand [formule] est un point d'inflexion à tangente horizontale, ou plus généralement un zéro d'ordre pair de [formule]. À l'inverse, si [formule] change de signe en [formule], alors [formule] y admet un extremum local strict, et l'on retrouve bien deux points de même image de part et d'autre : la réciproque est alors vraie. Autrement dit, la réciproque de Rolle n'est pas « globalement fausse » : elle est vraie exactement pour les zéros d'ordre impair de [formule], et [formule] est le plus petit exemple d'ordre pair — [formule] a un zéro double en [formule]. ⚠️ L'erreur classique, et elle est tentante : proposer [formule]. On voit [formule] et « un seul zéro », et on croit avoir conclu. C'est faux deux fois. D'abord la réciproque ne parle pas des zéros de [formule] mais de deux points où [formule] prend la même valeur. Ensuite, pour [formule] ces points existent : [formule], avec [formule]. La parabole vérifie la réciproque — la donner en contre-exemple, c'est réfuter une proposition qu'elle satisfait. 💡 À retenir. Avant de chercher un contre-exemple, écrire la négation de l'énoncé. Ici elle se lit : « il existe [formule] et [formule] tels que [formule] et [formule] soit injective au voisinage de [formule] » — et cette formulation désigne immédiatement les fonctions strictement monotones à tangente horizontale, c'est-à-dire les points d'inflexion.