[formule] de classe [formule] sur [formule], [formule] et [formule] pour [formule]. Montrer [formule], [formule].
Chaque application de Rolle consomme une hypothèse [formule]. Sur quel intervalle appliquez-vous la suivante ?
Une seule application de Rolle fait descendre d'un ordre de dérivation. Pour atteindre [formule], il faut donc l'appliquer [formule] fois — et à chaque étape, c'est l'hypothèse [formule] qui refournit le second point d'égalité dont Rolle a besoin. Sans elle, l'itération s'arrêterait au premier tour. Rappel — Théorème de Rolle. [formule] continue sur [formule], dérivable sur [formule] et [formule] avec [formule]. On l'appliquera à chaque fois sur un intervalle de plus en plus petit, tous accrochés au point [formule]. Première étape. [formule] est [formule] donc continue sur [formule] et dérivable sur [formule], et [formule]. Rolle donne [formule] tel que [formule]. Deuxième étape. On dispose maintenant de deux annulations de [formule] : en [formule] par hypothèse, et en [formule] par l'étape précédente. Rolle appliqué à [formule] sur [formule] donne donc [formule] avec [formule]. Récurrence. Supposons construit [formule] avec [formule], pour [formule]. L'hypothèse donne [formule] : la fonction [formule] prend donc la même valeur [formule] en [formule] et en [formule]. Rolle sur [formule] fournit [formule] avec [formule]. Conclusion. Au rang [formule] on obtient [formule] tel que [formule]. Les points construits forment une suite strictement décroissante [formule], chaque intervalle étant emboîté dans le précédent. ⚠️ L'erreur classique. Appliquer Rolle à [formule] sur [formule] plutôt que sur [formule]. Rien ne garantit [formule] — l'énoncé n'impose des annulations en [formule] que pour [formule] elle-même. C'est bien l'intervalle qui rétrécit à chaque tour, et le voir est tout l'exercice. La récurrence s'arrête d'ailleurs exactement à [formule], faute d'hypothèse sur [formule]. 💡 À retenir. Ce résultat est le squelette de la démonstration de Taylor-Lagrange : on y applique le même emboîtement à une fonction auxiliaire construite pour annuler les [formule] premières dérivées. Retenir le mécanisme — chaque hypothèse d'annulation en [formule] finance une application de Rolle.