Si [formule] est [formule] sur [formule], [formule] et [formule] ne s'annule qu'en un nombre fini de points, montrer que [formule] change de signe.
Par l'absurde : si [formule] ne changeait pas de signe, que vaudrait [formule] entre deux zéros égaux ?
L'énoncé demande de montrer qu'une chose arrive, ce qui est difficile de front. On raisonne donc par l'absurde : on suppose que [formule] ne change pas de signe, et on montre que [formule] serait alors constamment nulle — ce qui contredit l'hypothèse sur les zéros de [formule]. Rappel — Théorème de Rolle. Si [formule] est continue sur [formule], dérivable sur [formule] et [formule], alors il existe [formule] tel que [formule]. Ici [formule] est [formule] et [formule] : [formule] s'annule donc au moins une fois. Supposons par l'absurde que [formule] ne change pas de signe. Comme [formule] est continue et ne s'annule qu'en un nombre fini de points [formule], elle garde un signe constant sur chacun des intervalles ouverts qu'ils délimitent (théorème des valeurs intermédiaires). « Ne pas changer de signe » signifie que ce signe est le même partout ; quitte à remplacer [formule] par [formule], supposons [formule] sur [formule]. Alors [formule] est croissante au sens large sur [formule]. Or [formule] : pour tout [formule] on a [formule], donc [formule] est identiquement nulle sur [formule]. Mais alors [formule] sur [formule], qui est un intervalle non réduit à un point : [formule] s'annule en une infinité de points. C'est la contradiction cherchée avec l'hypothèse « un nombre fini de zéros ». Donc [formule] prend des valeurs strictement positives et strictement négatives : elle change de signe. ⚠️ L'erreur classique. Écrire « [formule] croît puis décroît, donc [formule] ». C'est supposer ce qu'on veut démontrer — que [formule] change bien de signe. Le raisonnement correct part de l'absence de changement de signe et en tire la monotonie, pas l'inverse. Second point de rigueur : « signe constant sur chaque morceau » n'est pas « même signe partout ». C'est bien la seconde qui traduit « ne change pas de signe », et il faut le dire. 💡 À retenir. Une hypothèse de finitude sur les zéros d'une fonction continue sert presque toujours de la même manière : elle rend absurde une conclusion du type « [formule] sur un intervalle ». Et devant « montrer que [formule] change de signe », l'absurde avec la monotonie est le réflexe.