Rolle généralisé

Énoncé

Si [formule] est [formule] sur [formule], [formule] et [formule] ne s'annule qu'en un nombre fini de points, montrer que [formule] change de signe.

Indication

Par l'absurde, f serait monotone.

Solution

Rolle : [formule]. Si [formule] garde un signe constant sauf en [formule], alors f monotone sur chaque intervalle. f(a)=0, f croît puis décroît : f(b) [formule] 0. Contradiction. Donc f' change de signe.