Montrer que le polynôme [formule] a exactement 3 racines réelles distinctes.
Le TVI donne « au moins », mais qu'est-ce qui donne « au plus » ? Comptez les zéros de [formule].
Deux moitiés, et elles n'emploient pas le même outil. « Au moins [formule] racines » vient du TVI, appliqué entre les variations de [formule]. « Au plus [formule] » vient de Rolle : trop de racines pour [formule] forcerait trop de zéros pour [formule]. C'est la seconde moitié que l'énoncé vise avec son « exactement ». Rappel — Théorème de Rolle, et sa conséquence sur les racines. Entre deux zéros consécutifs d'une fonction dérivable, [formule] s'annule au moins une fois. Donc si [formule] a [formule] racines réelles distinctes, [formule] en a au moins [formule]. Variations. [formule] s'annule en [formule]. [formule] est donc croissante sur [formule], décroissante sur [formule], croissante sur [formule]. Valeurs aux extrema : [formule] (maximum local) et [formule] (minimum local). Le maximum local est positif et le minimum local négatif : c'est exactement la configuration à trois racines. Au moins trois racines, par le TVI. [formule] est continue et strictement monotone sur chacun des trois intervalles ; ses valeurs y changent de signe : [formule] sur le premier, [formule] sur le deuxième, [formule] sur le troisième. Chacun contient donc exactement une racine — l'unicité venant de la stricte monotonie. Au plus trois racines, par Rolle. Si [formule] avait [formule] racines réelles distinctes, [formule] en aurait au moins [formule]. Or [formule] n'en a que [formule]. Contradiction. Donc [formule] a exactement [formule] racines réelles distinctes — numériquement [formule], [formule] et [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Se contenter du TVI et écrire « donc exactement [formule] ». Le TVI ne majore jamais le nombre de racines : il en produit, il n'en interdit aucune. Ici le degré [formule] suffirait à conclure, mais c'est un raccourci propre aux polynômes — l'argument de Rolle, lui, vaut pour n'importe quelle fonction dérivable, et c'est pour cela que l'exercice le demande. 💡 À retenir. Compter les racines se fait toujours en deux temps : le TVI minore (changements de signe), Rolle majore (zéros de la dérivée). Le tableau de variations organise les deux d'un coup — et un extremum local nul y signalerait une racine double.