Théorème de Rolle - Application

Énoncé

Montrer que le polynôme [formule] a exactement 3 racines réelles distinctes.

Indication

Étudier P' et compter les extrema.

Solution

[formule]. P(−1) = −1 + 3 + 1 = 3 > 0, P(1) = 1 − 3 + 1 = −1 < 0. P(−[formule]. Par TVI : une racine dans ]−[formule]−1[, une dans ]−1,1[, une dans ]1,+[formule] Donc 3 racines réelles distinctes.