Soit [formule] espace de Hilbert et [formule] forme linéaire continue. Montrer qu'il existe un unique [formule] tel que [formule].
Le noyau d'une forme continue est un hyperplan FERMÉ. Que vaut son orthogonal, et pourquoi [formule] n'y est-elle pas nulle ?
Une forme linéaire continue sur un Hilbert est toujours un produit scalaire déguisé. La démonstration exploite la seule structure disponible : le noyau de [formule] est un hyperplan fermé, son orthogonal est donc une droite, et c'est elle qui porte le vecteur cherché. Rappel — Supplémentaire orthogonal. Si [formule] est un sous-espace fermé d'un Hilbert [formule], alors [formule]. La fermeture est indispensable : sans elle, [formule] peut être réduit à [formule] alors que [formule]. C'est une conséquence directe du théorème de projection sur un convexe fermé. Le cas trivial et la mise en place. Si [formule], on prend [formule]. Sinon, [formule] est un sous-espace fermé — image réciproque du fermé [formule] par l'application continue [formule] — et [formule]. Il existe donc [formule] non nul, et nécessairement [formule] (sinon [formule]). La décomposition. Pour [formule] quelconque, posons [formule]. Alors [formule], donc [formule]. Autrement dit, tout vecteur se décompose en un élément du noyau plus un multiple de [formule]. On projette sur [formule]. Comme [formule], le produit scalaire [formule] se réduit à [formule]. En isolant : [formule]. Conclusion. En posant [formule], on obtient [formule] pour tout [formule]. Unicité : si [formule] pour tout [formule], alors [formule] pour tout [formule] ; en prenant [formule], il vient [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Oublier de justifier que [formule] est fermé, ce qui suppose la continuité de [formule] — hypothèse sans laquelle le théorème est faux. Sur un Hilbert de dimension infinie, il existe des formes linéaires non continues (construites par une base algébrique de Hamel), et leur noyau est un hyperplan dense : son orthogonal est nul, il n'y a aucun [formule] à choisir, et la démonstration s'arrête à la troisième ligne. 💡 À retenir. L'application [formule] est une isométrie de [formule] sur son dual : [formule]. Tout Hilbert est donc réflexif, et c'est cette identification qui permet de définir l'adjoint d'un opérateur et de démontrer le théorème de Lax-Milgram — donc l'existence de solutions faibles d'équations aux dérivées partielles.