Théorème de représentation de Riesz

Énoncé

Soit [formule] espace de Hilbert et [formule] forme linéaire continue. Montrer qu'il existe un unique [formule] tel que [formule].

Indication

Utiliser [formule] et sa projection orthogonale.

Solution

Si [formule], prendre [formule]. Sinon, [formule]. [formule] est fermé ([formule] continue). Soit [formule] avec [formule]. Pour tout x : [formule] donc x − [formule]. Par orthogonalité : [formule]. Posons [formule]. Alors [formule].