Soit f : [formule] application linéaire de rang 2. Déterminer dim(Ker f).
Théorème du rang.
L'énoncé se règle en une soustraction, ce qui rend l'exercice trompeur : la seule chose à apprendre ici n'est pas le calcul mais pourquoi cette relation existe, et ce qu'elle interdit. Un exercice voisin traite le cas où le rang doit être calculé ; celui-ci le suppose donné, pour laisser toute la place au théorème. Rappel — théorème du rang. Pour [formule] linéaire avec [formule] de dimension finie, [formule] Noter que la dimension qui apparaît à gauche est celle de l'espace de départ, jamais celle d'arrivée — c'est l'erreur la plus fréquente sur cette formule. D'où vient la relation. Elle n'est pas un décompte accidentel : [formule] induit un isomorphisme [formule], défini par [formule]. Il est bien défini (deux représentants diffèrent d'un élément du noyau), injectif par construction et surjectif sur l'image. Comme [formule], on obtient la formule. Autrement dit, l'image est exactement ce qui reste de [formule] une fois le noyau écrasé. Application. Ici [formule] donc [formule], et [formule] par hypothèse : [formule] Ce que les dimensions permettent de conclure sans aucun calcul. L'image étant un sous-espace de [formule], on a toujours [formule] ; et l'image étant engendrée par les images des [formule] vecteurs d'une base, [formule]. Donc [formule], et un rang de [formule] est bien admissible. Par ailleurs [formule] : [formule] n'est pas injective. Et [formule] : elle n'est pas surjective non plus. Le corollaire qui vaut mieux que l'exercice. Toute application linéaire de [formule] dans [formule] a un noyau non trivial, quel que soit son rang : [formule]. C'est le principe des tiroirs de l'algèbre linéaire — on ne peut pas envoyer injectivement un espace dans un espace plus petit. C'est lui qui garantit qu'un système homogène ayant plus d'inconnues que d'équations admet toujours une solution non nulle. ⚠️ L'égalité des dimensions n'est PAS une égalité d'espaces. Ici [formule], et l'on est tenté d'en conclure quelque chose sur [formule] et [formule] — mais ils ne vivent même pas dans le même espace, l'un dans [formule] et l'autre dans [formule]. Même pour un endomorphisme, où la question a un sens, l'égalité des dimensions n'entraîne ni égalité ni supplémentarité : pour [formule] sur [formule], noyau et image sont tous deux [formule], donc confondus et non supplémentaires. 💡 À retenir. Le théorème du rang transforme toute question d'injectivité ou de surjectivité en un décompte de dimensions. Trois conséquences immédiates en dimension finie : [formule] injective [formule] ; [formule] surjective [formule] ; et lorsque [formule], injective, surjective et bijective sont équivalentes — équivalence qui tombe en dimension infinie, où l'opérateur de décalage est injectif sans être surjectif.