Soit [formule], [formule]. Déterminer [formule] et [formule].
Écrire la matrice de [formule] dans les bases canoniques.
L'exercice voisin donne le rang et fait appliquer la formule ; ici il faut le calculer, ce qui est le vrai travail. Une fois le rang obtenu, on ne se contentera pas de la dimension du noyau : on l'exhibera, parce qu'un vecteur explicite est un contrôle que la formule ne fournit pas. Matrice dans les bases canoniques. Les colonnes sont les images des vecteurs de base : [formule], [formule], et ainsi de suite. [formule] Le rang. La matrice est déjà échelonnée : les pivots occupent les colonnes [formule], [formule] et [formule], et aucune ligne n'est nulle. Donc [formule]. Autrement dit les trois lignes sont libres, et comme [formule], l'image est [formule] tout entier : [formule] est surjective. Le noyau, par le théorème du rang puis explicitement. La formule donne [formule], donc le noyau est une droite. Résolvons le système [formule] : [formule] En remontant depuis [formule] : [formule], puis [formule], puis [formule]. Le noyau est donc [formule] Contrôle : [formule]. La dimension trouvée est bien [formule], conformément au théorème. Pourquoi le rang ne pouvait pas être [formule]. L'image vit dans [formule], donc [formule] : ici la borne est atteinte, ce qui est le cas générique. Une application de [formule] dans [formule] ne peut jamais être injective — le théorème du rang force [formule]. ⚠️ Rang des lignes et rang des colonnes : c'est le même nombre, et ce n'est pas évident. On a lu le rang sur les lignes ; on aurait pu le lire sur les colonnes, et l'on aurait trouvé [formule] aussi — ici les colonnes [formule], [formule], [formule] sont libres et la quatrième vaut [formule], ce qui redonne d'ailleurs le vecteur du noyau. Le théorème [formule] est un résultat à part entière, souvent utilisé sans être cité. Contrôle : [formule] pour chaque ligne, ce qui est exactement l'énoncé [formule]. 💡 À retenir. La marche pour ce type d'exercice est invariable : écrire la matrice colonne par colonne (images des vecteurs de base), échelonner pour lire le rang, en déduire la dimension du noyau, puis résoudre le système pour l'exhiber. Ce dernier pas est celui qu'on saute et c'est le seul qui vérifie les précédents — une dimension juste avec un rang faux se remarque rarement, un vecteur du noyau qui ne s'annule pas se remarque toujours.