Montrer qu'une matrice à coefficients > 0 a une valeur propre réelle > 0.
Appliquer Brouwer sur le SIMPLEXE (convexe compact), pas sur la sphère — qui n'est pas convexe.
Le résultat est intuitif — une matrice à coefficients positifs « pousse » les vecteurs positifs vers une direction privilégiée — mais sa démonstration réclame un théorème de point fixe. Il faut choisir le bon ensemble : le simplexe, et non la sphère, pour une raison que l'énoncé de Brouwer rend obligatoire. Rappel — théorème de Brouwer. Toute application continue d'un convexe compact non vide de [formule] dans lui-même admet un point fixe. Les trois hypothèses comptent, et c'est la convexité que l'on oublie. ⚠️ Sur la SPHÈRE, Brouwer est faux. [formule] est compacte, mais pas convexe — et l'application antipodale [formule], parfaitement continue, n'y a aucun point fixe. Chercher le vecteur propre sur la sphère unité est donc une impasse : il faut un ensemble convexe, et le bon candidat est le simplexe. Le bon ensemble. Posons [formule] le simplexe des vecteurs de probabilité. Il est convexe (intersection d'un hyperplan affine et d'un orthant), compact (fermé et borné) et non vide. C'est le domaine naturel du problème, puisqu'on cherche un vecteur propre à coordonnées positives, défini à un scalaire positif près. L'application. Pour [formule], on a [formule] et [formule], donc [formule] pour tout [formule] — c'est ici que la stricte positivité des [formule] sert. En particulier [formule], et l'on peut poser [formule] Alors [formule] est à coordonnées positives de somme [formule] : [formule] envoie [formule] dans [formule], et elle est continue comme quotient de fonctions continues à dénominateur non nul. Conclusion. Brouwer fournit [formule] avec [formule], c'est-à-dire [formule] La matrice admet donc une valeur propre réelle strictement positive, de vecteur propre à coordonnées positives — et même strictement positives, puisque [formule] et que [formule]. Ce que le théorème complet ajoute. Pour [formule], l'énoncé de Perron affirme davantage : cette valeur propre [formule] est le rayon spectral de [formule], elle est simple, elle est la seule de module maximal, et c'est la seule dont un vecteur propre soit positif. Ces raffinements ne s'obtiennent pas par Brouwer — on les démontre en caractérisant [formule] comme le maximum de [formule], ce qui donne au passage une démonstration élémentaire de l'existence, sans point fixe. 💡 À retenir. Perron-Frobenius est ce qui fait converger les chaînes de Markov : appliqué à une matrice de transition à coefficients strictement positifs, il donne l'unicité de la loi stationnaire et la convergence géométrique, le taux étant le rapport du second module au premier. C'est aussi le fondement de l'algorithme PageRank, où la perturbation par un terme uniforme sert précisément à rendre la matrice strictement positive.